树状数组 求逆序数
树状数组 求逆序数 poj 2299
这里说的很好，把求逆序的步骤说的很明白，我也是看完才懂的，之前自己想了很久就是不明白为什么可以用树状数组求逆序
转载：
树状数组，具体的说是 离散化+树状数组。这也是学习树状数组的第一题.
算法的大体流程就是：
1.先对输入的数组离散化，使得各个元素比较接近，而不是离散的，
2.接着，运用树状数组的标准操作来累计数组的逆序数。
算法详细解释：
1.解释为什么要有离散的这么一个过程？
刚开始以为999.999.999这么一个数字，对于int存储类型来说是足够了。
还有只有500000个数字，何必要离散化呢？
刚开始一直想不通，后来明白了，后面在运用树状数组操作的时候，
用到的树状数组C[i]是建立在一个有点像位存储的数组的基础之上的，
不是单纯的建立在输入数组之上。
比如输入一个9 1 0 5 4，那么C[i]树状数组的建立是在，
下标 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
数组 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1
现在由于999999999这个数字相对于500000这个数字来说是很大的，
所以如果用数组位存储的话，那么需要999999999的空间来存储输入的数据。
这样是很浪费空间的，题目也是不允许的，所以这里想通过离散化操作，
使得离散化的结果可以更加的密集。
2. 怎么对这个输入的数组进行离散操作？
离散化是一种常用的技巧，有时数据范围太大，可以用来放缩到我们能处理的范围；
因为其中需排序的数的范围0---999 999 999；显然数组不肯能这么大；
而N的最大范围是500 000；故给出的数一定可以与1.。。。N建立一个一一映射；
①当然用map可以建立，效率可能低点；
②这里用一个结构体
struct Node
{
int v,ord;
}p[510000];和一个数组a[510000];
其中v就是原输入的值，ord是下标；然后对结构体按v从小到大排序；
此时，v和结构体的下标就是一个一一对应关系，而且满足原来的大小关系；
for(i=1;i<=N;i++) a[p[i].ord]=i;
然后a数组就存储了原来所有的大小信息；
比如 9 1 0 5 4 ------- 离散后aa数组就是 5 2 1 4 3；
具体的过程可以自己用笔写写就好了。
3. 离散之后，怎么使用离散后的结果数组来进行树状数组操作，计算出逆序数？
如果数据不是很大， 可以一个个插入到树状数组中，
每插入一个数， 统计比他小的数的个数，
对应的逆序为 i- getsum( aa[i] ),
其中 i 为当前已经插入的数的个数，
getsum( aa[i] ）为比 aa[i] 小的数的个数,
i- sum( aa[i] ) 即比 aa[i] 大的个数， 即逆序的个数
但如果数据比较大，就必须采用离散化方法
假设输入的数组是9 1 0 5 4， 离散后的结果aa[] = {5,2,1,4,3};
在离散结果中间结果的基础上，那么其计算逆序数的过程是这么一个过程。
1，输入5， 调用upDate(5, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
0 0 0 0 1
计算1-5上比5小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（5） = 1操作，
现在用输入的下标1 - getSum(5) = 0 就可以得到对于5的逆序数为0。
2. 输入2， 调用upDate(2, 1),把第2位设置为1
1 2 3 4 5
0 1 0 0 1
计算1-2上比2小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（2） = 1操作，
现在用输入的下标2 - getSum(2) = 1 就可以得到对于2的逆序数为1。
3. 输入1， 调用upDate(1, 1),把第1位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 0 1
计算1-1上比1小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（1） = 1操作，
现在用输入的下标 3 - getSum(1) = 2 就可以得到对于1的逆序数为2。
4. 输入4， 调用upDate(4, 1),把第5位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 0 1 1
计算1-4上比4小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（4） = 3操作，
现在用输入的下标4 - getSum(4) = 1 就可以得到对于4的逆序数为1。
5. 输入3， 调用upDate(3, 1),把第3位设置为1
1 2 3 4 5
1 1 1 1 1
计算1-3上比3小的数字存在么？ 这里用到了树状数组的getSum（3） = 3操作，
现在用输入的下标5 - getSum(3) = 2 就可以得到对于3的逆序数为2。
6. 0+1+2+1+2 = 6 这就是最后的逆序数
分析一下时间复杂度，首先用到快速排序，时间复杂度为O(NlogN),
后面是循环插入每一个数字，每次插入一个数字，分别调用一次upData()和getSum()
外循环N, upData()和getSum()时间O(logN) => 时间复杂度还是O(NlogN).
最后总的还是O(NlogN).
poj 2299 ：
| Time Limit: 7000MS | Memory Limit: 65536K | |
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Description
In this problem, you have to analyze a particular sorting algorithm. The algorithm processes a sequence of n distinct integers by swapping two adjacent sequence elements until the sequence is sorted in ascending order. For the input sequence
9 1 0 5 4 ,
Ultra-QuickSort produces the output
0 1 4 5 9 .
Your task is to determine how many swap operations Ultra-QuickSort needs to perform in order to sort a given input sequence.
Input
Output
Sample Input
5 9 1 0 5 4 3 1 2 3 0
Sample Output
6 0
Source
题意：给定n个数，要求这些数构成的逆序对的个数。除了用归并排序来求逆序对个数，还可以使用树状数组来求解。
树状数组求解的思路：开一个能大小为这些数的最大值的树状数组，并全部置0。从头到尾读入这些数，每读入一个数就更新树状数组，查看它前面比它小的已出现过的有多少个数sum，然后用当前位置减去该sum，就可以得到当前数导致的逆序对数了。把所有的加起来就是总的逆序对数。
题目中的数都是独一无二的，这些数最大值不超过999999999，但n最大只是500000。如果采用上面的思想，必然会导致空间的巨大浪费，而且由于内存的限制，我们也不可能开辟这么大的数组。因此可以采用一种称为“离散化”的方式，把原始的数映射为1-n一共n个数，这样就只需要500000个int类型的空间。
<span style="color:#4b4b4b;font-size:12px;">#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
struct node{
int v;
int ord;
}a[500001];
int c[500001],aa[500001];
int n;
__int64 ans;
bool cmp(node a,node b)
{
return a.v<b.v;
}
int lowbit(int p)
{
return p&(-p);
}
int sum(int p)
{
int s=0;
while(p>0)
{
s+=c[p];
p-=lowbit(p);
}
return s;
}
void up(int p,int k)
{
while(p<=333)</span><strong style="color: rgb(75, 75, 75);"><span style="font-size:14px;">//333时说明输入的数据范围只能从0~332 </span></strong><span style="color:#4b4b4b;font-size:12px;">
{
c[p]+=k;
p+=lowbit(p);
}
}
int main()
{
int i,m;
while(scanf("%d",&n)&&n)
{
memset(c,0,sizeof(c));
ans=0;
m=0;
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i].v);
// a[i].ord=i;
up(a[i].v+1,1);</span><strong style="font-size:12px;"><span style="color:#ff0000;">//因为数据是从零开始，所以要加1，树状数组下标是从一开始的</span></strong><span style="color:#4b4b4b;font-size:12px;">
ans+=i-sum(a[i].v+1);
}
printf("%I64d\n",ans);
}
return 0;
} </span>
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64
65
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72
|
#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <string.h>
using
namespace
std;
const
int
maxn=500005;
int
n;
int
aa[maxn];
//离散化后的数组
int
c[maxn];
//树状数组
struct
Node{
int
v;
int
order;
}in[maxn];
int
lowbit(
int
x)
{
return
x&(-x);
}
void
update(
int
t,
int
value)
{
int
i;
for
(i=t;i<=n;i+=lowbit(i))//离散化后输入数据范围不受n控制，n只表示输入的数据个数
{
c[i]+=value;
}
}
int
getsum(
int
x)
{
int
i;
int
temp=0;
for
(i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
{
temp+=c[i];
}
return
temp;
}
bool
cmp(Node a ,Node b)
{
return
a.v<b.v;
}
int
main()
{
int
i,j;
while
(
scanf
(
"%d"
,&n)==1 && n)
{
//离散化
for
(i=1;i<=n;i++)
{
scanf
(
"%d"
,&in[i].v);
in[i].order=i;
}
sort(in+1,in+n+1,cmp);
for
(i=1;i<=n;i++) aa[in[i].order]=i;
//树状数组求逆序
memset
(c,0,
sizeof
(c));
long
long
ans=0;
for
(i=1;i<=n;i++)
{
update(aa[i],1);//因为离散化后就算之前输入的数据有0，离散化后的结果变为1，故不用加一处理
ans+=i-getsum(aa[i]);
}
cout<<ans<<endl;
}
return
0;
}
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