计蒜之道 初赛 第三场 题解 Manacher o(n)求最长公共回文串 线段树
腾讯手机地图
腾讯手机地图的定位功能用到了用户手机的多种信号，这其中有的信号的作用范围近，有的信号作用的范围则远一些。有的信号相对于用户在不同的方位强度是不同的，有的则是在任何一个方向上信号强度都一致的。
已知用户面向北方拿着自己的手机，在不同方位的各种信号覆盖区域可以被抽象成以用户为圆心的一系列扇形。已知每个扇形的半径 r，和每个扇形的两条边相对于正东方向的夹角度数。每个信号覆盖区域抽象出的扇形都可以通过从第一条边逆时针旋转到第二条边画出。
<img src="http://res.jisuanke.com/img/nanti/429.png" <="" a="" style="box-sizing: border-box; border: 0px; vertical-align: middle; display: block; max-width: 100%; height: auto; margin: auto;">请计算一下，用户手机所有信号覆盖到的区域的总面积。
输入格式
第一行输入一个整数 T (1 ≤ T ≤ 20)，表示数据组数。
接下来一共 T 组数据，每组数据第一行输入一个整数 n (1 ≤ n ≤ 104)，表示各种信号可以抽象出的不同扇形的总个数。接下来输入 n 行，每行 3 个整数表示扇形半径 r (1 ≤ r ≤ 105)、扇形第一条边与正东方向的夹角 α、扇形第二条边与正东方向的夹角 β (-90 ≤ α ≤ β < 270)。
输出格式
输出 T 行，每行一个非负浮点数，表示用户手机所有信号覆盖到的区域的范围的总面积。
每组输出与标准答案绝对误差在 10-3 内均认为是正确的。
样例1
输入：
1 4 2 -30 32 3 20 81 3 121 160 2 141 201
输出：
11.030
#define N 205
#define M 100005
#define maxn 205
#define MOD 1000000000000000007
int n,T,rr,aa,bb;
ll maxx[400];
int main()
{
while(S(T)!=EOF)
{
while(T--){
S(n);
memset(maxx,0,sizeof(maxx));
FI(n){
S(rr);S2(aa,bb);aa+=90;bb+=90;
for(int j = aa;j<bb;j++){
maxx[j] = max(maxx[j],(ll)rr);
}
}
double sum = 0;
ll sa = maxx[0];
int ss = 0;
for(int i =0;i<=360;i++){
if(maxx[i] == sa)continue;
sum += (double)sa / 360.0 * (double)sa * acos(-1) * (i - ss);
sa = maxx[i],ss = i;
}
printf("%.3f\n",sum);
}
}
return 0;
}
商品推荐走马灯（简单）
有一个新的研究显示，人在看见一系列的图片时，如果它们的排列有一定的轴对称性，则会更为觉得赏心悦目。根据这个特性，作为阿里巴巴旗下重要的电子商务交易平台的淘宝，希望了解商品推荐的图片走马灯现在的赏心悦目情况，以便判断是否之后需要做出调整。例如，当价值分别为 1，2，1 的商品图片排列在一起的时候，人们可以看到它的所有非空区间 [1]、[2]、[1]、[1，2]、[2，1]、[1，2，1] 中有四个是轴对称的，所以这组图片的展示价值是所有轴对称的非空区间的所有价值总和 1 + 2 + 1 + (1 + 2 + 1) = 8。
<img src="http://res.jisuanke.com/img/nanti/433.png" <="" a="" style="box-sizing: border-box; border: 0px; vertical-align: middle; display: block; max-width: 100%; height: auto; margin: auto;">对于现在淘宝商品推荐的图片走马灯序列里的图片，我们从左到右将它们自 1 开始依次递增编号。现在我们希望了解，对于每次由两个编号 li, ri 组成的第i次询问，若将 li 到 ri 的这些图片选出进行展示，他们的展示价值是多少。
输入格式
第一行输入两个整数 n (1 ≤ n ≤ 105), m (1 ≤ m ≤ 105)，分别代表图片总数和询问次数。
第二行一共 n 个整数 ci (-100 ≤ ci ≤ 100)，表示从编号 1 到编号 n 的图片价值。
接下来 m 行，每行两个整数 li, ri (1 ≤ li ≤ ri ≤ n)，表示一组询问 [li, ri]。
输入数据保证询问区间合法，图片价值 ci 满足 -100 ≤ ci ≤ 100。
对于简单版本，1 ≤ n, m ≤ 300；
对于中等版本，1 ≤ n ≤ 20000，1 ≤ m ≤ 3000；
对于困难版本，1 ≤ n, m ≤ 100000。
输出格式
一共输出 m 行，每行输出一组询问对应的展示价值。
样例1
输入：
5 2 1 1 0 1 0 2 4 1 2
输出：
4 4
#define N 505
#define M 100005
#define maxn 205
#define MOD 1000000000000000007
int n,m,l,r;
ll sum[N][N],pri[N],all;
bool dp[N][N];
int main()
{
while(S2(n,m)!=EOF)
{
FI(n) scanf("%lld",&pri[i]);
for(int len = 0;len<n;len++){
for(int i =0;i<n && i + len < n;i++){
int j = i + len;
if(i == j){
dp[i][j] = true;
sum[i][j] = pri[i];
}
else if(i + 1 == j){
if(pri[i] == pri[j]){
dp[i][j] = true;
sum[i][j] = pri[i] + pri[i+1];
}
else {
dp[i][j] = false;
sum[i][j] = 0;
}
}
else {
if(pri[i] == pri[j] && dp[i+1][j-1]){
dp[i][j] = true;
sum[i][j] = pri[i] + pri[j] + sum[i+1][j-1];
}
else {
dp[i][j] = false;
sum[i][j] = 0;
}
}
}
}
while(m--){
S2(l,r);all = 0;l--,r--;
for(int i = l;i<=r;i++){
for(int j = i;j<=r;j++){
if(dp[i][j])
{
all+= sum[i][j];
}
}
}
printf("%lld\n",all);
}
}
return 0;
}
第二中解法，使用Manacher o(n)求最长公共回文串，首先加入#字符形成所有的回文串都是奇串，也就是形成#a#b#这样的字符串,p[i]表示以i为中心的最大回文串的长度 Manacher 可以用O(n)的复杂度来求出最长公共回文串，然后应用预处理的方法，sum[i]表示前i项的和,dp[i]前i项sum的和。具体manacher算法可以看这个博客。
manacher算法
则可以推出公式，
当i为奇数时，t为i位置的最大回文串，则这段串总和为
t为偶数时s(t) = (dp[i+t] - 2 * dp[i-1] + dp[i-t-2])/2;
t为奇数时 s(t-1) + sum[i+t] - sum[i-t-1];也就是把奇数转化成偶数的情况，且加上最外环只算了一次。
当i为偶数时，t为i位置的最大回文串，则这段串总和为
t为奇数时s(t) = (dp[i+t] - 2 * dp[i-1] + dp[i-t-2])/2;
t为偶数时 s(t-1) + sum[i+t] - sum[i-t-1];也就是把偶数长度转化成奇数的情况，且加上最外环只算了一次。
注意，这里的t要求是min(min( r - i,p[i]),i - l);因为这里，要求最长串不能超过l r 的范围，总的复杂度为o(n * m);
int n,m,l,r,p[N + N];
ll sum[N + N],dp[N + N],pri[N],all,tstr[N+N];
void Manacher(ll str[],int len){
int l2 =0,mi;
tstr[l2++] = maxn;
for(int i =0;i<len;i++){
tstr[l2++] = str[i];
tstr[l2++] = maxn;
}
p[0] = 0;mi = 0;
for(int i = 1;i<l2;i++){
int mi2 = mi + mi - i;
if(mi + p[mi] >= i) p[i] = min(mi2 - (mi - p[mi]),p[mi2]);
else p[i] = 0;
if(p[i] == 0 || mi2 - p[mi2] == mi - p[mi]){
int maxx = p[i]+1;
while(i- maxx >= 0 && i + maxx < l2 && tstr[i-maxx] == tstr[i+maxx]){
maxx++;
}
p[i] = maxx - 1;
}
if(p[i] + i > p[mi] + mi) mi = i;
}
sum[0] = (tstr[0] == maxn ? 0:tstr[0]);
for(int i = 1;i < l2;i++){
sum[i] = sum[i - 1] + (tstr[i] == maxn ? 0:tstr[i]);
}
dp[0] = sum[0];
for(int i = 1;i < l2;i++){
dp[i] = dp[i - 1] + sum[i];
}
}
int main()
{
while(S2(n,m)!=EOF)
{
FI(n) scanf("%lld",&pri[i]);
Manacher(pri,n);
while(m--){
S2(l,r);all = 0;l = l * 2 -1;r = r * 2 -1;
for(int i = l;i<=r;i++){
int t = min(min( r - i,p[i]),i - l);
if(t == 0){
all += sum[i] - sum[i-1];
continue;
}
if((((i&1) && !(t&1)) || (!(i&1) && (t&1)))){
all += sum[i+t] - sum[i-t-1];t--;
}
if(t >= 0){
ll st = (dp[i+t] - 2 * dp[i-1] + (i - t - 2 >= 0? dp[i-t-2]:0))/2;
all += st;
}
}
printf("%lld\n",all);
}
}
return 0;
}
第三种方法用线段树，在第二个方法中，已经转化成了区间和，用一个线段树更新区间值就可以了。复杂度o(m * log(n));