集合的表示及其运算

说明：当状态的维数比较多，但每个维数都只有两种情况时，可以考虑用集合来表示。下面来说明集合的表示及其运算。

一，集合的表示及基本操作

C语言中集合采用二进制码来表示，相当于将集合编码成一个整数。利用公式f(S)=∑2^i(i∈S)即可将集合编码成为一个整数。下面假设集合中一共有n个元素，编号从0开始。

1. 空集：0
2. 全集：(1<<n)-1
3. 只含有第i个元素的集合{i}：1<<i
4. 判断第i个元素是否属于集合{0,1……n-1}：if((S>>i)&1)
5. 向集合中加入第i个元素S∪{i}：S|=1<<i
6. 从集合中除去第i个元素S\{i}：S&~(1<<i)
7. 集合S和T的并集S∪T：S|T
8. 集合S和T的交集S∩T：S&T
9. 集合S为全集，s为其一个子集，s的补集：s^S

二，枚举子集

枚举子集可以采用从大到小逆序枚举（因为顺序枚举有很多缺陷）。假设全集为S，令s为S的子集，那么最初令s=S，之后每次减一，由于减掉之后可能不是S的子集，因此应该再取交集：(s-1)&S。由此不难写出枚举的代码：

for (int s = S; s >= 0; s = (s - 1)&S)
	{
		//对子集的处理
	}

三，枚举集合{0,1……n-1}所包含的所有大小为k的子集

按照字典序的话，最小的子集是(1<<k)-1，因此用它作为初始值，每次都求出子集s的下一个子集。方法如下：

（1）求出最低位的1开始的连续的1的区间，例如（0101110->0001110）

（2）将这一区间全部变为0，并将区间左侧的那个0变为1，例如（0101110->0110000）

（3）将第一步里取出的区间右移，直到剩下的1的个数减少了1个，例如（0001110->0000011）

（4）将第二步和第三步的结果按位取或（取并集），例如（0110000|0000011=0110011）

根据上述的步骤，不难写出如下的代码，注意每一步的写法。

int k,n;
	int s = (1 << k) - 1;
	while (s < 1 << n)
	{
		int x = s&-s;//s&-s的值就是将最低位的1独立出来后的值，设为x
		int y = s + x;//根据第二步的描述，令s+x即可实现，设结果为y
		s = ((s&~y) / x >> 1) | y;//s&~y恰好只剩下最低位的1开始的连续区间，其他地方都为0，假设这个结果是z,那么(z/x)>>1就是第三步的结果，再与y取或，即完成了第四步
	}