利用函数来画任意图形

最近我们经常看到像鸟叔，初音之类的通过函数图像来画出来，看上去十分神奇的样子，wolframalpha这里有大量的通过函数图像来画人物的例子，大家可以去围观，而且最上面我这几个字也是我用函数图像画出来的，今天我们就说说这是怎么做到的。

首先我画的图形的函数是这个样子的

x(t)= 3.69696969697 *cos( 0.0 *t)- 1.78787878788 *sin( 0.0 *t) + -0.608631557183 *cos( 0.190399554763 *t)- 0.637886769069 *sin( 0.190399554763 *t) + -1.00348014017 *cos( 0.380799109526 *t)- -0.251077539499 *sin( 0.380799109526 *t) + 0.0858300019403 *cos( 0.571198664289 *t)- 0.0312569171374 *sin( 0.571198664289 *t) + 0.0403938878342 *cos( 0.761598219052 *t)- -0.424077642684 *sin( 0.761598219052 *t) + -0.029533908125 *cos( 0.951997773815 *t)- -0.612124881382 *sin( 0.951997773815 *t) + -0.196190215552 *cos( 1.14239732858 *t)- 0.0779263864101 *sin( 1.14239732858 *t) + -0.317379458544 *cos( 1.33279688334 *t)- -0.107897599954 *sin( 1.33279688334 *t) + 0.195824060124 *cos( 1.5231964381 *t)- -0.0603270845874 *sin( 1.5231964381 *t) + 0.0206709920939 *cos( 1.71359599287 *t)- -0.192643145398 *sin( 1.71359599287 *t) + -0.0390613766898 *cos( 1.90399554763 *t)- -0.0233815418361 *sin( 1.90399554763 *t) + 0.120124291368 *cos( 2.09439510239 *t)- 0.165578836822 *sin( 2.09439510239 *t) + 0.118680071019 *cos( 2.28479465716 *t)- 0.192116690811 *sin( 2.28479465716 *t) + 0.000254592255497 *cos( 2.47519421192 *t)- 0.0310134506924 *sin( 2.47519421192 *t) + 0.082560849545 *cos( 2.66559376668 *t)- -0.0576194138539 *sin( 2.66559376668 *t) + -0.0926779308527 *cos( 2.85599332145 *t)- -0.0839813133077 *sin( 2.85599332145 *t) + -0.192145472441 *cos( 3.04639287621 *t)- -0.00294302065064 *sin( 3.04639287621 *t) + -0.0467279999084 *cos( 3.23679243097 *t)- 0.0312620057434 *sin( 3.23679243097 *t) + -0.131380808582 *cos( 3.42719198573 *t)- 0.0240572405524 *sin( 3.42719198573 *t) + -0.146394824366 *cos( 3.6175915405 *t)- 0.0428285063991 *sin( 3.6175915405 *t) + -0.0688190483421 *cos( 3.80799109526 *t)- -0.02541184382 *sin( 3.80799109526 *t) + -0.0901484634214 *cos( 3.99839065002 *t)- 0.181258333651 *sin( 3.99839065002 *t) + -0.0898212610648 *cos( 4.18879020479 *t)- -0.0443667156102 *sin( 4.18879020479 *t) + -0.0750426044852 *cos( 4.37918975955 *t)- 0.0736544316679 *sin( 4.37918975955 *t) + -0.119525232263 *cos( 4.56958931431 *t)- -0.0355835823163 *sin( 4.56958931431 *t) + -0.193150001399 *cos( 4.75998886908 *t)- 0.0319541260203 *sin( 4.75998886908 *t) + 0.25777892582 *cos( 4.95038842384 *t)- -0.000416186591487 *sin( 4.95038842384 *t) + 0.171027143418 *cos( 5.1407879786 *t)- 0.218778298585 *sin( 5.1407879786 *t) + -0.16745165654 *cos( 5.33118753336 *t)- -0.127545487283 *sin( 5.33118753336 *t) + 0.242332056731 *cos( 5.52158708813 *t)- -0.263812652924 *sin( 5.52158708813 *t) + 0.0367447452299 *cos( 5.71198664289 *t)- -0.534397947337 *sin( 5.71198664289 *t) + -0.325288006456 *cos( 5.90238619765 *t)- 0.163558793585 *sin( 5.90238619765 *t) + -1.13634134796 *cos( 6.09278575242 *t)- -0.84340197599 *sin( 6.09278575242 *t)
y(t)= 1.78787878788 *cos( 0.0 *t)+ 3.69696969697 *sin( 0.0 *t) + 0.637886769069 *cos( 0.190399554763 *t)+ -0.608631557183 *sin( 0.190399554763 *t) + -0.251077539499 *cos( 0.380799109526 *t)+ -1.00348014017 *sin( 0.380799109526 *t) + 0.0312569171374 *cos( 0.571198664289 *t)+ 0.0858300019403 *sin( 0.571198664289 *t) + -0.424077642684 *cos( 0.761598219052 *t)+ 0.0403938878342 *sin( 0.761598219052 *t) + -0.612124881382 *cos( 0.951997773815 *t)+ -0.029533908125 *sin( 0.951997773815 *t) + 0.0779263864101 *cos( 1.14239732858 *t)+ -0.196190215552 *sin( 1.14239732858 *t) + -0.107897599954 *cos( 1.33279688334 *t)+ -0.317379458544 *sin( 1.33279688334 *t) + -0.0603270845874 *cos( 1.5231964381 *t)+ 0.195824060124 *sin( 1.5231964381 *t) + -0.192643145398 *cos( 1.71359599287 *t)+ 0.0206709920939 *sin( 1.71359599287 *t) + -0.0233815418361 *cos( 1.90399554763 *t)+ -0.0390613766898 *sin( 1.90399554763 *t) + 0.165578836822 *cos( 2.09439510239 *t)+ 0.120124291368 *sin( 2.09439510239 *t) + 0.192116690811 *cos( 2.28479465716 *t)+ 0.118680071019 *sin( 2.28479465716 *t) + 0.0310134506924 *cos( 2.47519421192 *t)+ 0.000254592255497 *sin( 2.47519421192 *t) + -0.0576194138539 *cos( 2.66559376668 *t)+ 0.082560849545 *sin( 2.66559376668 *t) + -0.0839813133077 *cos( 2.85599332145 *t)+ -0.0926779308527 *sin( 2.85599332145 *t) + -0.00294302065064 *cos( 3.04639287621 *t)+ -0.192145472441 *sin( 3.04639287621 *t) + 0.0312620057434 *cos( 3.23679243097 *t)+ -0.0467279999084 *sin( 3.23679243097 *t) + 0.0240572405524 *cos( 3.42719198573 *t)+ -0.131380808582 *sin( 3.42719198573 *t) + 0.0428285063991 *cos( 3.6175915405 *t)+ -0.146394824366 *sin( 3.6175915405 *t) + -0.02541184382 *cos( 3.80799109526 *t)+ -0.0688190483421 *sin( 3.80799109526 *t) + 0.181258333651 *cos( 3.99839065002 *t)+ -0.0901484634214 *sin( 3.99839065002 *t) + -0.0443667156102 *cos( 4.18879020479 *t)+ -0.0898212610648 *sin( 4.18879020479 *t) + 0.0736544316679 *cos( 4.37918975955 *t)+ -0.0750426044852 *sin( 4.37918975955 *t) + -0.0355835823163 *cos( 4.56958931431 *t)+ -0.119525232263 *sin( 4.56958931431 *t) + 0.0319541260203 *cos( 4.75998886908 *t)+ -0.193150001399 *sin( 4.75998886908 *t) + -0.000416186591487 *cos( 4.95038842384 *t)+ 0.25777892582 *sin( 4.95038842384 *t) + 0.218778298585 *cos( 5.1407879786 *t)+ 0.171027143418 *sin( 5.1407879786 *t) + -0.127545487283 *cos( 5.33118753336 *t)+ -0.16745165654 *sin( 5.33118753336 *t) + -0.263812652924 *cos( 5.52158708813 *t)+ 0.242332056731 *sin( 5.52158708813 *t) + -0.534397947337 *cos( 5.71198664289 *t)+ 0.0367447452299 *sin( 5.71198664289 *t) + 0.163558793585 *cos( 5.90238619765 *t)+ -0.325288006456 *sin( 5.90238619765 *t) + -0.84340197599 *cos( 6.09278575242 *t)+ -1.13634134796 *sin( 6.09278575242 *t) 

如果像我们这里只用cos和sin的话，我们可以画出任意我们想画的闭合曲线，至于其他图像那样包含很多闭合曲线的是用了step function的技巧，这里我就暂时不说了，也就说我这里是说明如何画出任意的闭合曲线的。当然了也就是说只要你能一笔画的东西都可以，线当然是可以交叉或者重合的。

因为我们是要画闭合曲线，并且注意到我们的函数最后是x(t)和y(t)这种形式，所以也就是说，我们可以把x和y分别当作是周期函数来对待，说道周期函数当然就是想到傅里叶级数了，因为傅里叶级数可以逼近任意的周期函数。所以这里我们就要用到DFT离散傅立叶变换。

我们这里就要用到离散傅里叶变换和逆变换的公式

如果像我们这里只用cos和sin的话，我们可以画出任意我们想画的闭合曲线，至于其他图像那样包含很多闭合曲线的是用了step function的技巧，这里我就暂时不说了，也就说我这里是说明如何画出任意的闭合曲线的。当然了也就是说只要你能一笔画的东西都可以，线当然是可以交叉或者重合的。

x[n]=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{-i\frac{2\pi}{N}nk}\hat{x}[k]

也就是说我们可以把我们想要画的图形画出来，然后依次找出我们要连接的这些点，这些点就是x[n]，带入到上面的第一个公式，我们可以得到x[k]，于是再调用第二个公式也就是离散傅里叶的逆变换，最后利用欧拉公式把e^ix=cosx+isinx展开，就能得到我们最后的函数形式了。

按照这个思路实现的python代码如下

    import math
     
    N = int(raw_input())
     
    f = []
    for i in range(N):
        (x, y) = map(float, raw_input().split())
        f.append(complex(x, y))
     
    F = []
    for i in range(N):
        ang = -2 * 1j * math.pi * i / N
        r = 0
        for j in range(N):
            r += (math.e ** (ang * j)) * f[j]
        F.append(r)
     
    print "set parametric"
    print "set samples", N + 1
     
    print "x(t)=",
    for i in range(N):
        ang = 2 * math.pi * i / N
        if i > 0:
            print "+",
        print F[i].real / N, "*cos(", ang, "*t)-",
        print F[i].imag / N, "*sin(", ang, "*t)",
     
    print
    print "y(t)=",
    for i in range(N):
        ang = 2 * math.pi * i / N
        if i > 0:
            print "+",
        print F[i].imag / N, "*cos(", ang, "*t)+",
        print F[i].real / N, "*sin(", ang, "*t)",
     
    print
    print "plot [t=0:", N, "] x(t), y(t)"
    print "pause 60"

也可以在这里看代码，把代码存成dft.py然后运行python dft.py输入点的个数以及点的位置，运行程序就可以看到生成的函数了，把结果输入到gnuplotli就可以看到函数图像了。

比如我生成的那个函数图像的输入是这个样子的

33
0 0
2 0
1 0
1 3
0 3
2 3
2 2
3.5 0
5 2
5 3
4 3
3.5 2
3 3
2 3
3 3
3.5 2
4 3
5 3
5 1
5.5 0
6.5 0
7 1
7 3
7 1
6.5 0
5.5 0
5 1
5 3
4 3
3.5 2
3 3
1 3
1 0 

可以把输入文件保存到input.txt，然后运行cat input.txt | python dft.py | gnuplot就可以看到绘制好的函数了。

也就是说只要把你要画的东西的点描绘出来，输入到程序中就可以生成不可思议的函数了！

参考资料：
http://mathematica.stackexchange.com/questions/17704/how-to-create-new-person-curve
http://tieba.baidu.com/p/2156093774
http://www.quora.com/Mathematics/How-is-the-Gangnam-Style-mathematical-plot-made