BZOJ 3800 Saber VS Lancer/POJ 1755 Triathlon 半平面交

题目大意：有n个人进行铁人三项比赛，对于这三种运动，每个人都有一个固定的速度，但是每种运动的长度是多少并不知道。现在问裁判可不可以通过调整这三项运动的长度来使某一个人赢得比赛。

思路：考虑现在我们想让一个人赢的时候，这个人的三个速度分别为v1,v2,v3,想让所有人都输给他，设某一个人的三个速度是v1',v2',v3'。设三项的比赛的长度为l1,l2,l3。那么不难得到如下方程：l1 / v1 + l2 / v2 + l3 / v3 < l1 / v1' + l2 / v2' + l3 / v3'。

但是这个方程有三个未知数，这是啥，根本没法处理。其实这个题只要求我们求出能否有解，那么对于具体的值我们并不关注。如果一个解X,Y,Z可以让一个人赢所有的人，那么X*K,Y*K,Z*K也可以让这个人赢所有的人。所以我们确定一个l值并不会影响答案的正确性。所以假设l3 = 1，那么l3 / v3和l3 / v3'就是两个定值了。

原方程就变成了:(为了方便理解，设x = l1,y = l2)x * (v1' - v1) / (v1 * v1') + y * (v2' - v2) / (v2 * v2') + k - k' < 0.

这个式子中，我们只有xy不知道，剩下的都是常量。这就是一个关于x和y的一个半平面。找到所有的半平面，然后判断内核是否存在，就是答案。

数据范围很小，用O(n^2)的半平面交应该也可以过。

然而我并没有过这个题。。这个题卡精度简直令人不忍直视，从网上搞到数据之后用cena测，一共25个点，就是有两个点死活过不去。。心里AC了。。

CODE（未AC，谨慎提交）：

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define MAX 10010
#define EPS 1e-16
#define INF (1ll << 32)
using namespace std;
#define DCMP(a) (fabs(a) < EPS)
  
struct Complex{
    double v1,v2,v3;
      
    void Read() {
        scanf("%lf%lf%lf",&v1,&v2,&v3);
    }
}src[MAX];
  
struct Point{
    double x,y;
      
    Point(double _ = .0,double __ = .0):x(_),y(__) {}
    Point operator +(const Point &a)const {
        return Point(x + a.x,y + a.y);
    }
    Point operator -(const Point &a)const {
        return Point(x - a.x,y - a.y);
    }
    Point operator *(double a)const {
        return Point(x * a,y * a);
    }
}p[MAX];
  
struct Line{
    Point p,v;
    double alpha;
      
    bool operator <(const Line &a)const {
        return alpha < a.alpha;
    }
    Line(Point _,Point __):p(_),v(__) {
        alpha = atan2(v.y,v.x);
    }
    Line() {}
}line[MAX],q[MAX];
  
int cnt,lines;
  
inline double Cross(const Point &a,const Point &b)
{
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
}
  
inline bool OnLeft(const Line &l,const Point &p)
{
    return Cross(l.v,p - l.p) > 0;
}
  
inline void MakeLine(const Complex &win,const Complex &lose)
{
    double A = (lose.v1 - win.v1) / (win.v1 * lose.v1);
    double B = (lose.v2 - win.v2) / (win.v2 * lose.v2);
    double C = (lose.v3 - win.v3) / (win.v3 * lose.v3);
    if(DCMP(A) && DCMP(B) && C < EPS)
        throw false;
    if(DCMP(B)) B = EPS;
    line[++lines] = Line(Point(.0,-C / B),Point(-B,A));
}
  
inline void Initialize()
{
    line[++lines] = Line(Point(0,0),Point(1,0));
    line[++lines] = Line(Point(INF,0),Point(0,1));
    line[++lines] = Line(Point(INF,INF),Point(-1,0));
    line[++lines] = Line(Point(0,INF),Point(0,-1)); 
}
  
inline Point GetIntersection(const Line &a,const Line &b)
{
    Point u = a.p - b.p;
    double temp = Cross(b.v,u) / Cross(a.v,b.v);
    return a.p + a.v * temp;
}
  
inline bool HalfplaneIntersection()
{
    int front = 1,tail = 1;
    q[1] = line[1];
    for(int i = 2;i <= lines; ++i) {
        while(front < tail && !OnLeft(line[i],p[tail - 1]))  --tail;
        while(front < tail && !OnLeft(line[i],p[front])) ++front;
        if(DCMP(Cross(line[i].v,q[tail].v)))
            q[tail] = OnLeft(q[tail],line[i].p) ? line[i]:q[tail];
        else    q[++tail] = line[i];
        if(front < tail) p[tail - 1] = GetIntersection(q[tail],q[tail - 1]);
    }
    while(front < tail && !OnLeft(q[front],p[tail - 1])) --tail;
    if(tail - front <= 1)    return false;
    double re = Cross(tail,front);
    for(int i = front; i < tail; ++i)
        re += Cross(p[i],p[i + 1]);
    return !DCMP(re);
}
  
int main()
{
    cin >> cnt;
    for(int i = 1; i <= cnt; ++i)
        src[i].Read();
    for(int i = 1; i <= cnt; ++i) {
        lines = 0;
        try{
            for(int j = 1; j <= cnt; ++j) {
                if(i == j)  continue;
                MakeLine(src[i],src[j]);
            }
        }
        catch(bool flag) {
            puts("No");
            continue;
        }
        Initialize();
        sort(line + 1,line + lines + 1);
        if(HalfplaneIntersection()) puts("Yes");
        else    puts("No");
    }
    return 0;
}