二分图 最大匹配

hdu 2063 二分图—最大匹配

分类： 图论 2013-03-25 16:48 287人阅读 评论(0) 收藏 举报

ACM 算法 二分图 最大匹配 匈牙利算法

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分区为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

图的点覆盖：寻找一个点集，使得图中每一条边至少有一点在该点集中
二分图的最小点覆盖 = 最大匹配

图的独立集：寻找一个点集，其中任意两点在图中无对应边
一般图的最大独立集是NP完全问题
二分图的最大独立集 = 图的点数-最大匹配

图的路径覆盖：用不相交路径覆盖有向无环图的所有顶点
二分图的最小路径覆盖 = 节点数-最大匹配

匈牙利算法：用增广路求最大匹配的方法

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。（M为一个匹配）

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

　　1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

　　2－将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。

　　3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

算法描述：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

　　(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

题目大意：有n个女生和m个男生，以及K种可能的组合方式，求最多能有几对组合；

[cpp] view plain copy print ?

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 505
int link[N],flag[N],map[1005][2],K;
int Find(int x)
{
int i;
for(i=0;i<K;i++){
if(map[i][0]==x&&flag[map[i][1]]==0){
flag[map[i][1]]=1; //标记访问过的点，防止出现死循环和重复计算
if(link[map[i][1]]==0 || Find(link[map[i][1]])==1){
link[map[i][1]]=x;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int main()
{
int n,m,i,cnt;
while(scanf("%d",&K),K){
scanf("%d%d",&n,&m);
memset(link,0,sizeof(link));
for(i=0;i<K;i++){
scanf("%d%d",&map[i][0],&map[i][1]);
}
for(i=1,cnt=0;i<=n;i++){  //每个点只需要查找一遍：若从某一点开始找不到增广路，
memset(flag,0,sizeof(flag)); //则无论当前匹配如何改变都无法再从该点找到增广路
if(Find(i))
cnt++;
}
printf("%d\n",cnt);
}
return 0;
}

 

 

hdu 1498 二分图—最小点覆盖

分类： 图论 2013-03-27 11:16 299人阅读 评论(0) 收藏 举报

ACM 算法 二分图 最小点覆盖

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1498

/*

题目大意：有 n*n 的矩阵中放着 1-50 种气球，每次只能毁掉一行或者一列。求 k 此操作后那些气球不能被全部毁掉。

解题思路：对于每一种给定的color，当 map[i][j] = color 时可以认为存在一条 i—j 的路径，这样就可以构建一个二分图，二分图的两个点集分别是该颜色气球的横纵坐标；毁掉该 colo r的所有气球所需的次数就是该二分图的最小点覆盖。

什么是图的点覆盖

*/

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define M 105
#define N 55
int map[M][M],link[M],flag[M],ans[N],n,k; //注意：link和flag数组长度应该和矩阵的行列数相等；
int find(int i,int color)
{
int j;
for(j=1;j<=n;j++){
if(map[i][j]==color&&flag[j]==0){
flag[j]=1;
if(link[j]==0||find(link[j],color)==1){
link[j]=i;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int getnum(int color)
{
int i,sum;
memset(link,0,sizeof(link));
for(i=1,sum=0;i<=n;i++){
memset(flag,0,sizeof(flag));
if(find(i,color)==1)
sum++;
}
return sum;
}
int main()
{
int i,j,t;
while(scanf("%d%d",&n,&k),n||k){
memset(map,0,sizeof(map));
memset(ans,0,sizeof(ans));
for(i=1;i<=n;i++){
for(j=1;j<=n;j++){
scanf("%d",&map[i][j]);
}
}
for(i=1,t=0;i<=50;i++){  //注意这里是遍历每一种颜色，所以循环次数等于所有颜色数
if(getnum(i)>k)
ans[t++]=i;
}
if(t==0)
printf("-1\n");
else{
for(i=0;i<t;i++){
printf(i==0?"%d":" %d",ans[i]);
}
printf("\n");
}
}
return 0;
}

hdu 2255 二分图—最优匹配

分类： 图论 2013-03-28 11:53 359人阅读 评论(0) 收藏 举报

ACM KM算法 二分图 最优匹配 图论

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2255

/*

最优匹配：使二分图的边权和最大的完备匹配。（如果二分图的两个点集不相等可以通过加 ’点‘ 和 ’权值为0的边‘ 实现转化）

相关概念

可行顶标：若L(x)是顶点x对应的顶标值。可行顶标对于图中的每条边(x,y)都有L(x)+L(y)>=w(x,y)

相等子图：只包含L(x)+L(y)=w(x,y)的边的子图

算法流程

设顶点Xi的顶标为a[i]，顶点Yi的顶标为b[i]

ⅰ.初始时，a[i]为与Xi相关联的边的最大权值，b[j]=0，保证a[i]+b[j]>=w(i,j)成立

ⅱ.当相等子图中不包含完备匹配时，就适当修改顶标以扩大相等子图，直到找到完备匹配为止

修改顶标的方法：当从 Xi 开始寻找交错路失败后，得到一棵交错树，对交错树中 X 顶点的顶标减少 d 值， Y 顶点的顶标增加 d 值。

对于图中所有的边 (i,j) 有：

i和j都不在交错树中，边(i,j)仍然不属于相等子图

i和j都在交错树中，边(i,j)仍然属于相等子图

i不在交错树中，j在交错树中，a[i]+b[j]扩大，边(i,j)不属于相等子图

i在交错树,j不在交错树中,边(i,j)有可能加入到相等子图中

为了使a[i]+b[j]>=w(i,j)始终成立,且至少有一条边加入到相等子图中,d=min{a[i]+b[j]-w(i,j)},其中 i 在交错树中, j 不在交错树中。

由于在算法过程一直保持顶标的可行性，所以任意一个匹配的权值和肯定小于等于所有结点的顶标之和，又因为在扩大相等子图过程中优先加入了权值大大边，所以在相等子图中找到的第一个完备匹配就是最优匹配。

*/

题目大意：有n个人和n件物品，w[i][j]表示第 i 个人对第 j 件物品的出价，求这些物品能得到的最大价值；

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 305
#define Max 1000000
int w[N][N],linky[N]; //数组 w 记录边权，数组 linky 记录顶点 y 的匹配；
int lx[N],ly[N]; //数组 lx 和 ly 分别记录顶点 x 和 y 的顶标值；
int visx[N],visy[N]; //数组 visx 和 visy 分别记录顶点 x 和 y 是否被访问；
int n,low; //low 记录每次顶标需要变化的值；
int Find(int x)
{
int y,t;
visx[x]=1;
for(y=0;y<n;y++){
if(visy[y])continue;
t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];
if(t==0){
visy[y]=1;
if(linky[y]==-1||Find(linky[y])){
linky[y]=x;
return 1;
}
}
else{
if(low>t)low=t;
}
}
return 0;
}
void KM()
{
int i,x;
for(x=0;x<n;x++){
while(1){
memset(visx,0,sizeof(visx));
memset(visy,0,sizeof(visy));
low=Max;
if(Find(x))break;
for(i=0;i<n;i++){
if(visx[i])
lx[i]-=low;
if(visy[i])
ly[i]+=low;
}
}
}
}
int main()
{
int i,j,sum;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
memset(lx,0,sizeof(lx));
memset(ly,0,sizeof(ly));
memset(linky,-1,sizeof(linky));
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<n;j++){
scanf("%d",&w[i][j]);
if(lx[i]<w[i][j])
lx[i]=w[i][j];
}
}
KM();
for(i=0,sum=0;i<n;i++){
sum+=w[linky[i]][i];
}
printf("%d\n",sum);
}
return 0;
}

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#define N 305
#define Max 1000000
int w[N][N],linky[N];  //数组 w 记录边权，数组 linky 记录顶点 y 的匹配；
int lx[N],ly[N];       //数组 lx 和 ly 分别记录顶点 x 和 y 的顶标值；
int visx[N],visy[N];   //数组 visx 和 visy 分别记录顶点 x 和 y 是否被访问；
int n,low;             //low 记录每次顶标需要变化的值；
int Find(int x)
{
    int y,t;
    visx[x]=1;
    for(y=0;y<n;y++){
        if(visy[y])continue;
        t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];
        if(t==0){
            visy[y]=1;
            if(linky[y]==-1||Find(linky[y])){
                linky[y]=x;
                return 1;
            }
        }
        else{
            if(low>t)low=t;
        }
    }
    return 0;
}
void KM()
{
    int i,x;
    for(x=0;x<n;x++){
        while(1){
            memset(visx,0,sizeof(visx));
            memset(visy,0,sizeof(visy));
            low=Max;
            if(Find(x))break;
            for(i=0;i<n;i++){
                if(visx[i])
                    lx[i]-=low;
                if(visy[i])
                    ly[i]+=low;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    int i,j,sum;
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        memset(lx,0,sizeof(lx));
        memset(ly,0,sizeof(ly));
        memset(linky,-1,sizeof(linky));
		for(i=0;i<n;i++){
			for(j=0;j<n;j++){
				scanf("%d",&w[i][j]);
				if(lx[i]<w[i][j])
					lx[i]=w[i][j];
			}
		}
        KM();    
        for(i=0,sum=0;i<n;i++){
            sum+=w[linky[i]][i];
        }
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}

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hdu 2444 二分图判定+最大匹配

分类： 图论 2013-05-03 08:11 238人阅读 评论(0) 收藏 举报

ACM C 图论 二分图判定 最大匹配

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2444

题目大意：有n个人之间有m对互相认识，问能否将所有人分成两组，同一组的任意两人互不认识。若不能分组输出“No”，若能分组计算并输出有最多有多少对人互相认识；

思路：先用DFS进行染色，判断能否分成两组组（即能否构成二分图），如果可以求二分图的最大匹配；

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#define N 202
using namespace std;
int map[N][N],link[N],visit[N],color[N];
bool flag;
bool DFS(int i,int n,int c)
{
int j;
for(j=1;j<=n;j++){
if(map[i][j]==1){
if(color[j]==c)
continue;
if(color[j]==0){
color[j]=c;
flag=DFS(j,n,-c);
}
else{
return false;
}
if(!flag)
return false;
}
}
return true;
}
bool find(int x,int n)
{
int y;
for(y=1;y<=n;y++){
if(map[x][y]==1 && visit[y]==0){
visit[y]=1;
if(link[y]==-1 || find(link[y],n)){
link[y]=x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int main()
{
int n,m,a,b,i,cnt;
while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
flag=true;
memset(map,0,sizeof(map));
memset(link,-1,sizeof(link));
memset(color,0,sizeof(color));
while(m--){
scanf("%d%d",&a,&b);
map[a][b]=map[b][a]=1;
}
for(i=1;i<=n;i++){//对每个点通过DFS进行染色
if(color[i]==0)
color[i]=1;
flag=DFS(i,n,-color[i]);
if(!flag)break;
}
if(!flag){
printf("No\n");
continue;
}
for(i=1,cnt=0;i<=n;i++){
memset(visit,0,sizeof(visit));
if(find(i,n))
cnt++;
}
printf("%d\n",cnt/2);
}
return 0;
}