hdu 5225 Tom and permutation（组合数学）

题意：

要求你求出字典序比当前序列小的序列的逆序数的和。

解析：

组合数学的问题，这题先要求出n个数的全排列的逆序数的和是多少。

当n = 1，他只有1个排列，然我们现在利用1推出2的组合是多少。

思路是把2往前面1排好的序列内插入，显然也可以插前面和后面。
那么会产生1 2、2 1这两个排列，由于2是最大的数，所以当插入后面的位置时产生的逆序对多0，插在前面的位置逆序对多1，那么2种插法总共会多出1个逆序数对。
而1只有一个排列，所以总共会多出1*1 = 1个逆序对
那么当n = 2时的总共的逆序对 = (n =１时的逆序数对) + 插入2时候出多的１个
＝ 0 + 1 = 1

然后是当 n = 3时
n = 2的时候有2个排列
1 2、2 1
那么每个排列，对于3有3个位置插插入
1 2 3 插最后面
1 3 2 插中间
3 1 2 插前面　
这３种插法会多出　0+1+2 = 3 逆序对
而n=2的时候有2个排列，每个排列会多出3，总共多出 2*3 = 6个

那么加上n=2的时候的逆序数对*3可以放置的位置 = 1*3 = 3
所以dp公式可以推得： dp[i]=(i−1)!∗i∗(i−1)/2+i∗dp[i−1]

然后是第二步，类似数位dp，一位一位的放置数字
那么有3种情况要考虑。
1. 逆序对一个在k位，一个在[k+1, n]
2. 两个都在(k, n]
3. 一个在[1,k-1]，一个在[k, n]

AC代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = (int)(1e9 + 7);
const int N = 105;
int n, a[N];
ll dp[N], fact[N];
bool vis[N];
void init() {
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    fact[0] = fact[1] = 1;
    for(int i = 1; i < N; i++) {
        dp[i] = ((fact[i-1] * i*(i-1)/2)%MOD + i*dp[i-1])%MOD;
        fact[i] = (fact[i-1]*i) % MOD;
    }
}
int small(int pos) {
    int sum = 0;
    for(int i = 1; i < pos; i++) {
        sum += !vis[i];
    }
    return sum;
}
ll solve() {
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    ll ans = 0, cnt = 0;
    vis[0] = true;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        for(int j = 1; j < a[i]; j++) {
            if(!vis[j]) {
                ans = (ans + small(j)*fact[n-i]) % MOD; //一个在k，一个在[k+1, n]
                ans = (ans + dp[n-i]) % MOD; //两个都在(k, n]
                ans = (ans + cnt*fact[n-i]) % MOD; //一个在[1,k-1]，一个在[k, n]
            }
        }
        vis[a[i]] = true;
        cnt += small(a[i]);
    }
    return ans;
}

int main() {
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    init();
    while(scanf("%d", &n) != EOF) {
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]);
        printf("%lld\n", solve());  
    }
    return 0;
}