Leetcode Factorial Trailing Zeroes

2015年7月9日
Leetcode：Factorial Trailing Zeroes
Given an integer n, return the num er of trailing zeroes in n!

Note: Your solution should be in logarithmic time complexity.

题目大意：
给一个n，求出n！末尾有几个0。

如果我没记错的话这是微软的一个笔试题目。

n!=1∗2∗.....∗n

如果 n!=K∗10M ，K不能被10除尽，则末尾有M个0。分析什么情况下怎么会在末尾产生0：
由于 10=2∗5 ，取 [1,n] 的任意两个数a，b，这两个数相乘要产生0，a跟b的所有因子中至少有一个5和一个2，这样才能在末尾产生0。1个5跟1个2就会产生一个0，x个5跟x个2就会产生x个0。
所以综上所述：需要统计n!中的因子5的个数num1，因子2的个数num2，则答案就是:

min(num1,num2)

这样迈出了一大步了，不难看出n!中因子5的个数远远小于2的个数，所以只需统计因子5的个数了。
所以得到如下程序：

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        long long cnt = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i){
            int num = i;
            while(num % 5 == 0){
                cnt++;
                num /= 5;
            }
        }
        return cnt;    
    }
};

时间复杂度 O（n） ，很明显这样是会超时的。
再来看看能否继续迈出一大步。
公式：

Z=[n/5]+[n/52]+[n/53]+.……

[n/5] 表示不大于n的数中5的倍数贡献一个5， [n/x] 表示不大于n的数中x（ x=5y ）的倍数贡献 [n/x] 个5，所以可得到如下代码：

class Solution {
public:
    int trailingZeroes(int n) {
        long long cnt = 0;
        while(n){
            cnt += n / 5;
            n /= 5;
        }
        return cnt;
    }
};

时间复杂度 O（log5n） ，Accepted。
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