51nod 1040 1060 （数论）
51nod 1040 传送门：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1040
求1-n与n的gcd之和，n<=1e9
一个一个求肯定是不行的，所以需要一些方法咯
首先，如果x与n的gcd为gcd（x,n），所以gcd(x/gcd(x,n),n/gcd(x,n))=1，所以我们可以搜索n的因子nn，然后求nn的欧拉函数（与nngcd为1的数字个数为tmp），然后tmp*n/nn就是gcd为n/nn的数字的gcd之和。
先求出n的欧拉函数phi，然后对于一个素因子k，如果k只有一个，n/k的欧拉函数为phi/(k-1),否则n/k的欧拉函数为phi/k
通过搜索n的每一个因子，答案为sigma（phi[d]*n/d）（d|n）
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
#define MAX 1000005
#define MAXN 1000005
#define maxnode 15
#define sigma_size 30
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define lrt rt<<1
#define rrt rt<<1|1
#define middle int m=(r+l)>>1
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
#define lowbit(x) (x&-x)
#define pii pair<int,int>
#define bits(a) __builtin_popcount(a)
#define mk make_pair
#define limit 10000
//const int prime = 999983;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL INFF = 0x3f3f;
const double pi = acos(-1.0);
const double inf = 1e18;
const double eps = 1e-8;
const LL mod = 1e9+7;
const ull mx = 133333331;
/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9');
x=c-'0';
while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
}
/*****************************************************/
bool prime[100005];
int pr[100005];
int tot;
vector<int> v;
set<int> s;
LL ans;
int n;
void init(){
mem(prime,0);tot=0;
for(int i=2;i<100000;i++){
if(!prime[i]){
for(int j=2*i;j<100000;j+=i) prime[j]=1;
pr[tot++]=i;
}
}
}
void dfs(int x,int ph,int j){
if(s.count(x)) return ;
else{
s.insert(x);
ans+=(LL)ph*(n/x);
}
for(int i=j;i<v.size();i++){
int tmp=ph;
int k=x;
while(k%v[i]==0){
k/=v[i];
if(k%v[i]==0) tmp/=v[i];
else tmp/=(v[i]-1);
dfs(k,tmp,j+1);
}
}
}
int main(){
//freopen("in.txt","r",stdin);
cin>>n;
init();
v.clear();
int k=n;
for(int i=0;i<tot&&pr[i]*pr[i]<=k;i++){
if(k%pr[i]==0){
while(k%pr[i]==0) k/=pr[i];
v.push_back(pr[i]);
}
}
if(k!=1) v.push_back(k);
int phi=n;
for(int i=0;i<v.size();i++){
phi=phi/v[i]*(v[i]-1);
}
ans=0;
dfs(n,phi,0);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
51nod 1060 传送门：https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1060
求1-n里面因子数量最多的，并且最小的数n<=1e18
由于1e18分解质因数，也就最多60多个数相乘，所以可以直接爆搜解决问题
因为a=p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 *...* pn^kn
它的因子数量为（k1+1）*(k2+1)*(k3+1)*...*(kn+1)
所以搜索时记录当前值的大小，和这会应该搜索的素因子pi，以及当前因子个数，每次搜索往下都是搜索后一种素因子，不在同一个素因子上递归
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <string>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <sstream>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#pragma comment(linker,"/STACK:102400000,102400000")
using namespace std;
#define MAX 1000005
#define MAXN 1000005
#define maxnode 15
#define sigma_size 30
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define lrt rt<<1
#define rrt rt<<1|1
#define middle int m=(r+l)>>1
#define LL long long
#define ull unsigned long long
#define mem(x,v) memset(x,v,sizeof(x))
#define lowbit(x) (x&-x)
#define pii pair<int,int>
#define bits(a) __builtin_popcount(a)
#define mk make_pair
#define limit 10000
//const int prime = 999983;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const LL INFF = 0x3f3f;
const double pi = acos(-1.0);
const double inf = 1e18;
const double eps = 1e-8;
const LL mod = 1e9+7;
const ull mx = 133333331;
/*****************************************************/
inline void RI(int &x) {
char c;
while((c=getchar())<'0' || c>'9');
x=c-'0';
while((c=getchar())>='0' && c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0';
}
/*****************************************************/
LL n;
LL ans;
int maxn;
bool prime[10005];
int pr[10005];
int tot;
void init(){
mem(prime,0);tot=0;
for(int i=2;i<10000;i++){
if(!prime[i]){
for(int j=i*i;j<10000;j+=i) prime[j]=1;
pr[tot++]=i;
}
}
}
void dfs(int f,int num,int nu,LL tmp){
LL ret=tmp;
if(tmp<=n){
if(nu>maxn){
maxn=nu;
ans=tmp;
}
else if(nu==maxn) ans=min(ans,tmp);
}
for(int i=1;i<=num;i++){
if(ret>n/pr[f]) break;//防止爆LL
ret*=pr[f];
dfs(f+1,i,nu*(i+1),ret);
}
}
int main(){
//freopen("in.txt","r",stdin);
int t;
cin>>t;
init();
while(t--){
cin>>n;
maxn=0;
ans=0;
dfs(0,100,1,1);
cout<<ans<<" "<<maxn<<endl;
}
return 0;
}