最长单调子序列（O(n^2) 和 O(nlg(n)))）

给出一个数n，然后给出n个数，求n个数的最长单调子序列。如：

n = 7

7    1     5    2    9    3    6

方法一：DP

dp[i] 表示元素值不超过i时的最长单调序列。时间复杂度为O（n^2）则可以这样：

 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 100000
int a[N];
int dp[N];

int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int n;
	while(~scanf("%d", &n))
	{
		int i, j;
		for(i=0; i<n; i++){
			scanf("%d", &a[i]);
			dp[i] = 1;
		}
		int max = -(1<<30);
		for(i=0; i<n; i++){
			for(j=0; j<i; j++){
				if(a[i] > a[j] && dp[i] < dp[j] + 1)
					dp[i] = dp[j] + 1;
			}
			if(dp[i] > max) max = dp[i];
		}
		printf("%d\n", max);
	}
}
        

方法二：引入一个c数组 + 二分查找，时间复杂度为O(nlg(n))。

其中c[i] 表示长度为i的单调递增子序列的最后一个元素。在遍历过程c[i]取值可能有多个，则取值最小的一个。这样c数组中的元素就会是递增的。所以可以用二分查找。

比如之前的例子：

n = 7

       7    1     5    2    9    3    6

a[]   0    1     2    3    4    5    6

核心过程：

对c数组初始化为一个不可能出现的数。

先令len = 1；c[len] = a[0]；

之后在c数组中遍历查找a[i] (1 < i < n)，如果a[i]  > c[len]；就在c数组末尾添加，即是c[++len] = a[i]；如果找到了a[i]，就不做什么，如找不到，就把c数组中第一个比a[i] 大的数替换成a[i]，最后，c数组的长度len就是a数组的最长单调子序列长度！

                           0     1      2      3       4       5      6       7     (c数组下标)

a[0]    ->     c      -1    7

a[1]    ->     c      -1    1

a[2]    ->     c      -1    1      5

a[3]    ->     c      -1    1      2

a[4]    ->     c      -1    1      2      9

a[5]    ->     c      -1    1      2      3

a[6]    ->     c      -1    1      2      3      6

所以len  = 4

 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define N 100010
int c[N];
int ans;

void bsearch(int *A, int l, int r, int key)
{
	if(key > A[r]){
		ans++;
		A[ans] = key;
		return;
	}
	int mid;
	while(l <= r)
	{
		mid = l + (r - l) / 2;
		if(A[mid] == key) return;
		else if(A[mid] > key) r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	A[l] = key;
}

int main()
{
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	int n, a;
	while(~scanf("%d", &n))
	{
		ans = 1;
		memset(c, 0, sizeof(c));
		int i, j;
		scanf("%d", &a);
		c[1] = a;
		for(i=1; i<n; i++){
			scanf("%d", &a);
			bsearch(c, 1, ans, a);
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}