OpenGL学习脚印: 投影矩阵和视口变换矩阵(math-projection and viewport matrix)

写在前面
前面几节分别介绍了模型变换，视变换，本节继续学习OpenGL坐标变换过程中的投影变换。这里主要是从数学角度推导投影矩阵。对数学不感兴趣的，可以稍微了解下，或者跳过本节内容。

本文主要翻译并整理自 songho OpenGL Projection Matrix一文，这里对他的推导思路稍微进行了整理。

通过本节可以了解到

• 透视投影矩阵的推导
• 正交投影矩阵的 推导
• 视口变换矩阵的推导
• zFighting问题

投影变换

OpenGL最终的渲染设备是2D的，我们需要将3D表示的场景转换为最终的2D形式，前面使用模型变换和视变换将物体坐标转换到照相机坐标系后，需要进行投影变换，将坐标从相机—》裁剪坐标系，经过透视除法后，变换到规范化设备坐标系(NDC)，最后进行视口变换后，3D坐标才变换到屏幕上的2D坐标，这个过程如下图所示：

投影变换通过指定视见体(viewing frustum)来决定场景中哪些物体将可能会呈现在屏幕上。在视见体中的物体会出现在投影平面上，而在视见体之外的物体不会出现在投影平面上。投影包括很多类型，OpenGL中主要考虑透视投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。两者之间存在很大的区别，如下图所示(图片来自Modern OpenGL)：

上面的图中，红色和黄色球在视见体内，因而呈现在投影平面上，而绿色球在视见体外，没有在投影平面上成像。

指定视见体通过(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6个参数来指定。注意在相机坐标系下，相机指向-z轴，nearVal和farVal表示的剪裁平面分别为:近裁剪平面 z=−nearVal ，以及远裁剪平面 z=−farVal 。推导投影矩阵，就要利用这6个参数。在OpenGL中成像是在近裁剪平面上完成。

透视投影矩阵的推导

透视投影中，相机坐标系中点被映射到一个标准立方体中，即规范化设备坐标系中，其中 [l,r]映射到[−1,1] ， [b,t] 映射到[-1,1]中，以及 [n,f] 被映射到 [−1,1] ，如下图所示：

注意到上面的相机坐标系为右手系，而NDC中+z轴向内，为左手系。

我们的目标

求出投影矩阵的目标就是要找到一个透视投影矩阵P使得下式成立：

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=P∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

⎡⎣⎢xnynzn⎤⎦⎥=⎡⎣⎢xc/wcyc/wczc/wc⎤⎦⎥

上面的除以 wclip 过程被称为透视除法。要找到我们需要的矩阵P，我们需要利用两个关系:

• 投影位置 xp , yp 和相机坐标系中点 xe , ye之间关系。投影后对于z分量都是 z_{p}=-nearVal$。
• 利用 xp ， yp 和 xndc，yndc 关系求出 xclip,yclip 。
• 利用 zn 与 ze 关系得出 zclip

计算投影平面上的位置

投影时原先位于相机坐标系中的点 p=(xe,ye,ze) 投影到投影平面后，得到点 p′=(xp,yp,−nearVal) 。具体过程如下图所示：

需要空间想象一下，可以得出左边的图是俯视图，右边是侧视图。
利用三角形的相似性，通过俯视图可以计算得到:
xpxe=−nze
即: xp=xen−ze(1.1)
同理通过侧视图可以得到：
yp=yen−ze(1.2)

由(1)(2)这个式子可以发现，他们都除以了 −ze 这个量，并且与之成反比。这可以作为透视除法的一个线索，因此我们的矩阵P的形式如下：

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢...0...0...−1...0⎤⎦⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

也就是说 wc=−ze 。
下面利用投影点和规范化设备坐标的关系计算出矩阵P的前面两行。
对于投影平面上 xp 满足 [l,r] 线性映射到 [−1,1] 对于 yp 满足 [b,t] 线性映射到 [−1,1] 。

其中 xp 的映射关系如下图所示：

则可以得到 xp 的线性关系：
xn=2r−lxp+β(1.3)
将(r,1)带入上式得到：
β=−r+lr−l
带入式子3得到：
xn=2r−lxp−r+lr−l(1.4)
将式子1带入式子5得到：

xn=2xenr−l∗1−ze−r+lr−l=(2xenr−l+r+lr−l∗ze)−ze(1.5)

由式子6可以得到:
xc=2nr−lxe+r+lr−l∗ze(1.6)

对于 yp 的映射关系如下：

同理也可以计算得到:

yn=2yent−b∗1−ze−t+bt−b=(2yent−b+t+bt−b∗ze)−ze(1.7)

yc=2nt−bye+t+bt−b∗ze(1.8)

由式子7和9可以得到矩阵P的前两行和第四行为：

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l0.002nt−b.0r+lr−lt+bt−b.−100.0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

由于 ze 投影到平面时结果都为 −n ，因此寻找 zn 与之前的x,y分量不太一样。我们知道 zn 与x,y分量无关，因此上述矩阵P可以书写为：

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−bA−100B0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥

则有： zn=Aze+Bwe−ze ,由于相机坐标系中 we=1 ，则可以进一步书写为：
zn=Aze+B−ze(1.9)

要求出系数A,B则，利用 zn 与 ze 的映射关系为：(-n，-1)和(-f,1)，代入式子10得到：
A=−f+nf−n 和 B=−2fnf−n ，
则 zn 与 ze 的关系式表示为：
zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze(1.10)
将A，B代入矩阵P得到：

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(透视投影矩阵)

上述矩阵时一般的视见体矩阵，如果视见体是对称的，即满足 r=−l,t=−b ，则矩阵P可以简化为：

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢nr0000nt0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(简化的透视投影矩阵)

使用Fov指定的透视投影

另外一种经常使用 的方式是通过视角(Fov)，宽高比(Aspect)来指定透视投影，例如旧版中函数gluPerspective，参数形式为：

API void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);

其中指定fovy指定视角，aspect指定宽高比，zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下图所示(来自opengl 投影)：

这些参数指定的是一个对称的视见体，如下图所示(图片来自Working with 3D Environment)：

由这些参数，可以得到：
h=near∗tan(θ2)
w=h∗aspect
对应上述透视投影矩阵中：
r=−l,r=w
t=−b,t=h
则得到透视投影矩阵为：

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢cot(θ2)aspect0000cot(θ2)0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(Fov透视投影矩阵)

正交投影矩阵的推导

相比于透视投影，正交投影矩阵的推导要简单些，如下图所示：

对于正交投影，有 xp=xe,yp=ye ，因而可以直接利用 xe 与 xn 的映射关系： [l,−1],[r,1] ，利用 ye 和 yn 的映射关系： [b,−1],[t,1] ，以及 ze 和 zn 的映射关系： [−n,−1],[−f,1] 。例如 xe 与 xn 的映射关系表示为如下图所示：

利用 [l,−1],[r,1] 得到:

xn=2r−lxe−r+lr−l(2.1)
同理可得到y,z分量的关系式为：
yn=2t−bye−t+bt−b(2.2)
zn=−2f−nze−f+nf−n(2.3)

对于正交投影而言，w成分是不必要的，保持为1即可，则所求投影矩阵第四行为(0,0,0,1)，w保持为1，则NDC坐标和剪裁坐标相同，从而得到正交投影矩阵为:

O=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b0000−2f−n0−r+lr−l−t+bt−b−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(正交投影矩阵)

如果视见体是对称的，即满足 r=−l,t=−b ，则矩阵O可以简化为：

O=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢1r00001t0000−2f−n000−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(简化正交投影矩阵)

利用平移和旋转推导正交投影矩阵

还可以看做把视见体的中心移动到规范视见体的中心即原点处，然后缩放视见体使得它的每条边长度都为2，进行这一过程的变换表示为：

O=S(2/(r−l),2/(t−b),2/(near−far))∗T(−(r+l)/2,−(t+b)/2,(f+n)/2)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b00002n−f00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢100001000010−r+l2−t+b2f+n21⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b0000−2f−n0−r+lr−l−t+bt−b−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

视口变换矩阵的推导

视变换是将NDC坐标转换为显示屏幕坐标的过程，如下图所示：

视口变化通过函数:
glViewport(GLint sx , GLint sy , GLsizei ws , GLsizei hs );
glDepthRangef(GLclampf ns , GLclampf fs );

两个函数来指定。其中( sx , sy )表示窗口的左下角， ns 和 fs 指定远近剪裁平面到屏幕坐标的映射关系。
使用线性映射关系如下：

(−1,sx),(1,sx+ws)(x分量映射关系)
(−1,sy),(1,sy+hs)(y分量映射关系)
(−1,ns),(1,fs)(z分量映射关系)

求出线性映射函数为:
xs=ws2xn+sx+ws2(3.1)
ys=hs2yn+sy+hs2(3.2)
zs=fs−ns2zn+ns+fs2(3.3)
则由上述式子得到视口变换矩阵为：

viewPort=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ws20000hs20000fs−ns20sx+ws2sy+hs2ns+fs21⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(视口变换矩阵)

Zfighting问题

回过头去看透视投影部分， zn 与 ze 的关系式1.10：
zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze(1.10)
这是一个非线性关系函数，作图如下：

从左边图我们可以看到，在近裁剪平面附近 zn 值变化比较大，精确度较好；而在远裁剪平面附近，有一段距离内， zn 近乎持平，精确度不好。当增大远近裁剪平面的范围 [−n,−f] 后，如右边图所示，我们看到在远裁剪平面附近，不同相机坐标 ze 对应的 zn 相同，精确度低的现象更为明显，这种深度的精确度引起的问题称之为zFighting。要尽量减小[-n,-f]的范围，以减轻zFighting问题。

本节参考资料

1. songho OpenGL Projection Matrix
2. GLSL Programming/Vertex Transformations
3. glOrtho
4. glFrustum
5. gluPerspective

相关资源

1.The Perspective and Orthographic Projection Matrix
2.OpenGL 101: Matrices - projection, view, model
3.Calculating the gluPerspective matrix and other OpenGL matrix maths