差分约束系统

差分约束

有什么L用?

差分约束系统属于线性规划问题。在一个差分约束系统中，线性规划矩阵A的每一行包含一个1和一个-1，A的所有其他元素都为0。因此，由Ax≤b给出的约束条件是m个差分约束集合，其中包含n个未知元。

以上属于没有L用的P话

如果一个辣鸡系统由n个变量 a1...an 和m个约束条件组成，约束条件的形式是全为 ai−aj≤k 或全为 ai−aj≥k 的不等式,则称其为差分约束系统。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。

简单的说,用于求一组形式是全为 ai−aj≤k 或全为 ai−aj≥k 的N元不等式组的一组解.

这个不等式组要么无解，要么就有无数组解,每个 ai 都+k,这个不等式组还是成立,因为差是不变的啊~

怎么搞

我们要借助图来解决这个问题
定理:
即对于任何一条边u -> v，都有：
d(v)≤d(u)+w(u,v)
其中d(u)和d(v)是从源点分别到点u和点v的最短路径的权值，w(u, v)是边u -> v的权值。

将 ai−aj≤k 移一下项,得 ai≤k+aj
然后发现 d(i)≤d(j)+w(j,i) 这个关系和 ai≤k+aj 恰好是吻合的,只要我们将他转化为一个图,使得k=w(j,i),ai和d(i)就是对应的! 这样我们就求出最短路,就相当求出一组解了!

怎么使得k=w(i,j)呢?
若有约束 ai≤k+aj 即连边aj -> ai,边权为k,求最短路

当然我们也可以有大于等于形式的约束 ai≥k+aj ,即连边aj->ai,边权为k,求最长路
(其实就是上面的定理变一下形)

求最短路的话,需要一个源点,手动加一个虚点a0向每个点连一条为0的边就可以了,保证连通.

若图中存在相对的”负权”回路1，则该差分约束系统显然不存在可行解。

注意

一般只有题中显然的条件是不够的,需要自己挖掘一下隐含条件

参考资料

http://blog.csdn.net/xuezhongfenfei/article/details/8685313

1. 对于最短路是负权,最长路是正权 ↩