卡特兰数总结

一、白什么是卡特兰数可以从它对应的应用来分析：

我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

　　1.括号化问题。

　　矩阵链乘：P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

　　2.出栈次序问题。

　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

　　类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

　　3.将多边行划分为三角形问题。

　　将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

　　从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

　　4.给顶节点组成二叉树的问题。

　　给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

　　（能构成h（N）个）

3和4的问题是用到其 性质的 问题。忘记性质看下面两个连接

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其实都归结为括号问题（两个一一点对应的关系）。



二、n卡特兰数 一般项公式为



即有cn种可能。

递归求法：

还有递推的办法：
f[n] = f[n - 1] * f[0] + f[n - 2] * f[1] + ... + f[1] * f[n - 2] + f[0] * f[n - 1]
f[0] = 1
f[1] = 1

卡塔兰数满足以下递推关系




三、证明：

令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有个，下面考虑不满足要求的数目.

考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而。证毕。

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自己的理解：n个0，和n个1的2n序列中。表出栈，不合法的序列必然在某一点上，使得出栈的数量比入栈的数多1。则置换这一点后的0和1后，出现 n+1个0和n-1个1。则不合法的情况对应一个n+1个0的情况。

反过来，n+1个0和n-1个1的2n序列，必然对应某一点 使0的数比1的数多1，则置换之后的0和1,。出现 n个0和n个1的 序列（此序列不合法）。即任意n+1个0和n-1个1的2n序列对应一个不合法的n个0的2n序列。则 这两个关系是一一对应的。即得出结论1，不合法的卡特兰序列是对应一个 任意n+1个0和n-1个1的2n序列的。则所有序列 减去 不合法序列则表示 合法序列。得证。

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四、另一个变形应用是：

2003年浙江省小学数学夏令营竞赛考了这个题：圆周上10个点可以连成既不相交，也没有公共端点的5条线段，不同的连法共有_____种。

答：方法的种数是卡特兰数C5＝42，此题被收录进单墫主编的知识出版社出版的《华数奥赛强化训练》小学六年级册的“计数问题”专题。




共六种类型，第1类有5种连法，第2类有2种连法，第3类有10种连法，第4类有10种连法，第5类有10种连法，第6类有5种连法。共有42种连法。