数据预处理系列：（十二）用截断奇异值分解降维

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用截断奇异值分解降维

截断奇异值分解（Truncated singular value decomposition，TSVD）是一种矩阵因式分解（factorization）技术，将矩阵 M 分解成 U ， Σ Σ和 V 。它与PCA很像，只是SVD分解是在数据矩阵上进行，而PCA是在数据的协方差矩阵上进行。通常，SVD用于发现矩阵的主成份。

Getting ready

TSVD与一般SVD不同的是它可以产生一个指定维度的分解矩阵。例如，有一个 n×n 矩阵，通过SVD分解后仍然是一个 n×n 矩阵，而TSVD可以生成指定维度的矩阵。这样就可以实现降维了。

这里我们还用iris数据集来演示TSVD：

In [1]:

from sklearn.datasets import load_iris
iris = load_iris()
iris_data = iris.data

How to do it...

TSVD对象的用法和其他对象类似。首先导入需要的类，初始化，然后拟合：

In [5]:

from sklearn.decomposition import TruncatedSVD

In [6]:

svd = TruncatedSVD(2)
iris_transformed = svd.fit_transform(iris_data)
iris_data[:5]

Out[6]:

array([[ 5.1,  3.5,  1.4,  0.2],
       [ 4.9,  3. ,  1.4,  0.2],
       [ 4.7,  3.2,  1.3,  0.2],
       [ 4.6,  3.1,  1.5,  0.2],
       [ 5. ,  3.6,  1.4,  0.2]])

In [7]:

iris_transformed[:5]

Out[7]:

array([[ 5.91220352, -2.30344211],
       [ 5.57207573, -1.97383104],
       [ 5.4464847 , -2.09653267],
       [ 5.43601924, -1.87168085],
       [ 5.87506555, -2.32934799]])

最终结果如下图所示：

In [10]:

%matplotlib inline
import matplotlib.pyplot as plt
f = plt.figure(figsize=(5, 5))
ax = f.add_subplot(111)

ax.scatter(iris_transformed[:, 0], iris_transformed[:, 1], c=iris.target)
ax.set_title("Truncated SVD, 2 Components")

Out[10]:

<matplotlib.text.Text at 0x8600be0>

How it works...

现在我们演示了scikit-learn的TruncatedSVD模块，让我们看看只用scipy学习一些细节。

首先，我们用scipy的linalg处理SVD：

In [12]:

import numpy as np
from scipy.linalg import svd
D = np.array([[1, 2], [1, 3], [1, 4]])
D

Out[12]:

array([[1, 2],
       [1, 3],
       [1, 4]])

In [13]:

U, S, V = svd(D, full_matrices=False)
U.shape, S.shape, V.shape

Out[13]:

((3, 2), (2,), (2, 2))

我们可以根据SVD的定义，用 U U， S S和 V V还原矩阵 D D：

In [15]:

np.diag(S)

Out[15]:

array([[ 5.64015854,  0.        ],
       [ 0.        ,  0.43429448]])

In [16]:

np.dot(U.dot(np.diag(S)), V)

Out[16]:

array([[ 1.,  2.],
       [ 1.,  3.],
       [ 1.,  4.]])

TruncatedSVD返回的矩阵是 U U和 S S的点积。如果我们想模拟TSVD，我们就去掉最新奇异值和对于 U U的列向量。例如，我们想要一个主成份，可以这样：

In [17]:

new_S = S[0]
new_U = U[:, 0]
new_U.dot(new_S)

Out[17]:

array([-2.20719466, -3.16170819, -4.11622173])

一般情况下，如果我们想要截断维度 t t，那么我们就去掉 N−t N−t个奇异值。

There's more...

TruncatedSVD还有一些细节需要注意。

符号翻转（Sign flipping）

TruncatedSVD有个“陷阱”。随着随机数生成器状态的变化，TruncatedSVD连续地拟合会改变输出的符合。为了避免这个问题，建议只用TruncatedSVD拟合一次，然后用其他变换。这正是管线命令的另一个用处。

要避免这种情况，可以这样：

In [23]:

tsvd = TruncatedSVD(2)
tsvd.fit(iris_data)
tsvd.transform(iris_data)[:5]

Out[23]:

array([[ 5.91220352, -2.30344211],
       [ 5.57207573, -1.97383104],
       [ 5.4464847 , -2.09653267],
       [ 5.43601924, -1.87168085],
       [ 5.87506555, -2.32934799]])

稀疏矩阵

TruncatedSVD相比PDA的一个优势是TruncatedSVD可以操作PDA处理不了的矩阵。这是因为PCA必须计算协方差矩阵，需要在整个矩阵上操作，如果矩阵太大，计算资源可能会不够用。