学习数学系列<一>

<内容摘自《微积分摘要》&& 《高等数学PPT》>
由于标题写高数有圈粉嫌疑，所以还是写一些比较朴素的名字。
实际上这个算是高等数学的学习。
前几天被一位神犇虐数学虐到哭所以自己还是默默地拿起了书。
进入正题：

<第一节>
1.1集合的映射
如果有一种规律f使得A中每一个元素 x 都能与B中的唯一确定的元素 f(x) 对应，那么则称 f 为一个从A到B的映射。
记作：

f:A−>B

A 叫做 f 的 定义域， f(x)∈B 叫做 x 在映射 f 下的 像或者 f 在 x 上的 值，B为 f 的 值域。
定义域的字母： D
值域的字母： Rf（这里因为对应规则为f，所以下标为f）
单射： ∀x,y∈A,x≠y,f(x)≠f(y)
满射： f(A)=B
双射：既是单射也是满射。
然后我们把第二章跳过

1.3函数：
如果对于映射 f:X−>Y(X,Y∈R) 那么 f 称作一个函数。
设 f 与 g 是两个函数，定义域分别为 A 与 B ，那么在 A∩B 上有

(f+g)(x)=f(x)+g(x)(x∈A∩B).

则类似的定义也是可行的QAQ(比如减法乘法除法 取模)

函数的几种特性：
1.有界性：
I是D的子区间.

∀x∈D,∃M>0,|f(x)|<=M

则称f(x)为 有界函数

∀x∈I,∃M>0,|f(x)|<=M

则称f(x) 在I上有界
当然这个好像看起来很显然
2. 单调性：
∀x1,x2∈I,x1<x2时，有f(x1)>f(x2) ，则称 f(x) 为在 I 上的 单调增函数。
∀x1,x2∈I,x1<x2时，有f(x1)<f(x2) ，则称 f(x) 为在 I 上的 单调减函数。
3.奇偶性：
高中数学都会QAQ
4.周期性：
∀x∈D,∃l>0  &&  x±l∈D
若 f(x±l)=f(x)
则 f(x) 为 周期函数，l为 周期， min{l} 为 最小正周期。
然而周期函数不一定存在最小正周期。
比如 f(x)=C 这种常量函数。
这种东西感觉很蠢

反函数：
如果对于函数 f 是在集合 X−>Y 双射，那么有逆映射 f−1 ，称作 f 的反函数。

y=f(x)(x∈X)

则有

x=f−1(y)(y∈Y)

考虑反函数的性质：
1) y＝f(x)单调递增 ，其反函数 f−1 如果存在，那么也是单调递增的。
2) y=f−1(x)与y=f(x) 关于 y=x 对称。
比如对数函数和指数函数互为反函数。

复合函数：
设有函数链：
y=f(u),u∈Df
u=g(x),x∈D, && Rg⊂Df
则： y=f[g(x)],x∈D

然后因为zxn跑去玩学生端玩了很久，今天先到这里QAQ