【JZOJ 3466】选课

Description

你真的认为选课是那么容易的事吗？HYSBZ的ZY同志告诉你，原来选课也会让人产生一种想要回到火星的感觉。假设你的一周有n天，那么ZY编写的选课系统就会给你n堂课。但是该系统不允许在星期i和星期i+1的时候选第i堂课，也不允许你在星期n和星期一的时候选第n堂课。然后连你自己也搞不清哪种选课方案合法，哪种选课不合法了。你只想知道，你到底有多少种合法的选课方案。

Solution

这题用容斥原理来搞，
设 Wk 表示至少有k个位置是错位的方案数，
我们先选i个一定是错位的，再乘以剩下的所有排列方案即可，

首先来给容斥没有学好的孩纸们讲一下为什么是容斥：
以选至少两个错位时的来举例子，（红色的是先选的错位的，棕色的是另外选时选的，稍微红一点的是另外选时错位的）

而这种情况也会出现：

但我们发现这其实是一样的，所以要减掉 W3 ，但又会减重，所以又要加回 W4 ……，
所以是用容斥，
现在对于每个 Wk=(n−k)!∗wk，wk 为选k个一定错位的方案数，
对于每天，对应的错误的课为： (1,2),(2,3),.....,(n,1) ，
拆开来就是： 1,1,2,2,3,3,....,n,n ，
又因为拆开以后选的每一节课都一定可以对应一天，所以只要在这堆数中选即可，
现在要求的就是这 2n 个数围成的圆中（第一个,最后一个不能被同时选），选i个两两不相邻的数方案数（一节课不可以被选两次嘛），
这里引用LYD的解释方法：
设黑色为选，白色不选：

我们让黑色吃掉它右边一个，最后一个不吃，就变成了（被吃的为灰色）：

同样的，从下图也可以推出一个唯一的上图，
当然，当第一个和最后一个同时选的情况时不合法的要减掉，
所以就是

wk=Ck2n−k+1−Ck−2(2n−4)−(k−2)+1

化解一下：

wk=Ck2n−k∗nn−k

于是就可以求出 Wi ，之后再用容斥搞一波，

复杂度： O(n∗T)，T 为数据组数，

其实还有一种奇怪的递推方法，我不会！

Code

注意常数对程序带来的影响！！！
本题需卡常！！！

当然你打表也没人拦着你~

#include<cstdio>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=200050,mo=1e9+7;
LL n,ans;
LL jc[N],jcn[N],ny[N];
LL ksm(LL q,int w)
{
    LL ans=1;q%=mo;
    while(w)
    {
        if(w&1)(ans*=q)%=mo;
        (q*=q)%=mo;w>>=1;
    }
    return ans;
}
LL C(int i,int j){return jc[j]*jcn[i]%mo*jcn[j-i]%mo;}
int main()
{
    jc[0]=jcn[0]=1;
    fo(i,1,N-2)jc[i]=(jc[i-1]*i)%mo,jcn[i]=ksm(jc[i],mo-2),ny[i]=ksm(i,mo-2);
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        ans=0;
        if(n>1)fo(k,0,n)
        if(k&1)ans=(ans-2*n*ny[2*n-k]%mo*C(k,2*n-k)%mo*jc[n-k])%mo;
        else ans=(ans+2*n*ny[2*n-k]%mo*C(k,2*n-k)%mo*jc[n-k])%mo;
        printf("%lld\n",(ans+mo)%mo);
    }
    return 0;
}