线段相交的应用

线段相交是计算几何的基础知识，有必要熟练掌握。
关于叉积：
int mul(point p0,point p1,point p2){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p1.y-p0.y)*(p2.x-p0.x);
}

如果叉积结果大于0，表示p2-p0在p0-p1的逆时针方向（图中例子结果为4）；如果叉积结果小于0，表示p2-p0在p0-p1的顺时针方向；如果叉积结果是0，那么3点共线。【这很好理解：向量积|c|=|a×b|=|a| |b|sin<a,b>。】
判断线段相交：
bool Cross(point a,point b,point c,point d){//判断ab 与cd是否相交
double re1,re2,re3,re4;
re1=crossmulti(c,d,a);
re2=crossmulti(c,d,b);
re3=crossmulti(a,b,c);
re4=crossmulti(a,b,d);
if(re1*re2<0&&re3*re4<0)return 1;
else if(re1==0&&OnSegment(c,d,a))return 1;  //四种在同一条线上的结果
else if(re2==0&&OnSegment(c,d,b))return 1;
else if(re3==0&&OnSegment(a,b,c))return 1;
else if(re4==0&&OnSegment(a,b,d))return 1;
return 0;
}
“if(re1*re2<0&&re3*re4<0)return 1; ”：

“else   if(re1==0&&OnSegment(c,d,a))return 1; ”：

剩余三种是三种类似。
bool OnSegment(point a,point b,point c){ //a,b,c共线时使用
if(c.x>=min(a.x,b.x)&&c.x<=max(a.x,b.x)&&c.y>=min(a.y,b.y)&&c.y<=max(a.y,b.y))return 1;
return 0;
}
则保证了第三个点在前两个点所构成的矩形之内：

所以，在re1==0成立的基础上，OnSegment(c,d,a)排除了第三个点a在c,d的延长线的情况，一定在线上。

线段相交的简单应用：
hdu 1086 You can Solve a Geometry Problem too
题目：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1086
算是模板题吧。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
struct point{
    double x,y;
};
struct node{
    point a,b;
}edge[maxn];
double crossmulti(point a,point b,point c){
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(b.y-a.y)*(c.x-a.x);
}
bool OnSegment(point a,point b,point c){
    if(c.x>=min(a.x,b.x)&&c.x<=max(a.x,b.x)&&c.y>=min(a.y,b.y)&&c.y<=max(a.y,b.y))return 1;
    return 0;
}
bool Cross(point a,point b,point c,point d){
    double re1,re2,re3,re4;
    re1=crossmulti(c,d,a);
    re2=crossmulti(c,d,b);
    re3=crossmulti(a,b,c);
    re4=crossmulti(a,b,d);
    if(re1*re2<0&&re3*re4<0) return 1;
    else if(re1==0&&OnSegment(c,d,a)) return 1;
    else    if(re2==0&&OnSegment(c,d,b))    return 1;
    else    if(re3==0&&OnSegment(a,b,c))    return 1;
    else    if(re4==0&&OnSegment(a,b,d))    return 1;
    return 0;
}
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    int n;
    point p1,p2;
    while(cin>>n&&n){
        int ans=0;
        for(int i=0;i<n;i++){
            scanf("%lf%lf%lf%lf",&p1.x,&p1.y,&p2.x,&p2.y);
            edge[i].a=p1;
            edge[i].b=p2;
            for(int j=0;j<i;j++){ //单向
                if(Cross(edge[i].a,edge[i].b,edge[j].a,edge[j].b)) ans++;
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

fzu 1015 土地划分
题目： http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1015

当前线段的终点就是下一个线段的起点。问，能把矩形划成几份？

分析：画一条边构成的土地数量就是f(1)=2，两条线段就是 f(2)=4，通过画图可以发现，每增加一条边，部分其他边会分割它，由此增加L+1条线段(L表示分割它的边数，也就是交点数)，一条线段将空间分成两 份，增加一份，所以f(n)=f(n-1)+Ln+1=f(n-2)+L(n- 1)+1+Ln+1=……=f(1)+L2+1+……+Ln+1=2+L2+L3+……+Ln+n-1=n+1+∑Li. 结果与边数和总的交点数相关。注意本题中端点接触不算严格相交。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn=60;
struct point{
    int x,y;
};
struct vect{
    point s,e;
}v[maxn];
int multi(point p1,point p2,point p0){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
bool OnSegment(point p1,point p2,point p0){
    if(p0.x<=max(p1.x,p2.x)&&p0.x>=min(p1.x,p2.x)&&p0.y<=max

(p1.y,p2.y)&&p0.y>=min(p1.y,p2.y))
        return 1;
    return 0;
}
bool cross(vect l1,vect l2){
    int r1,r2,r3,r4;
    r1=multi(l2.s,l2.e,l1.s);
    r2=multi(l2.s,l2.e,l1.e);
    r3=multi(l1.s,l1.e,l2.s);
    r4=multi(l1.s,l1.e,l2.e);
    if(r1*r2<0&&r3*r4<0) return 1;
    //else if(r1==0&&OnSegment(l2.s,l2.e,l1.s)) return 1;
    //else if(r2==0&&OnSegment(l2.s,l2.e,l1.e)) return 1;
    //else if(r3==0&&OnSegment(l1.s,l1.e,l2.s)) return 1;
    //else if(r4==0&&OnSegment(l1.s,l1.e,l2.e)) return 1;
    else return 0;
}
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    int w,h,l;
    while(~scanf("%d%d",&w,&h)&&(w+h)){
        scanf("%d",&l);
        point p1,p2;
        int cnt=0;
        scanf("%d%d",&p1.x,&p1.y);
        for(int i=0;i<l;i++){
            scanf("%d%d",&p2.x,&p2.y);
            v[cnt].s=p1;
            v[cnt++].e=p2;
            p1=p2;
        }
        int L=0;
        for(int i=0;i<cnt;i++){
            for(int j=i+1;j<cnt;j++){
                if(cross(v[i],v[j])){
                    L++;
                }
            }
        }
        printf("%d\n",L+l+1);
    }
    return 0;
}

还有一些问题，不但要求判断是否线段相交，还需要求出其交点坐标。

图中P是AB和DC的交点。

poj 1269 Intersecting Lines（线段的二维关系·交点坐标)
题目： http://poj.org/problem?id=1269
大意：判断线段的平面关系，平行，相交，重叠。注意，有一种未接触相交的空间关系，所以不能直接套用跨立排斥算法。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
struct point{
    int x,y;
}p[4];
struct node{
    double x,y;
}po;
int multi(point p1,point p2,point p0){
    return (p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y);
}
int judge(){
    int r1,r2,r3,r4;
    r1=multi(p[0],p[2],p[3]);
    r2=multi(p[1],p[2],p[3]);

    if(r1==0&&r2==0) return 1; //重合
    if((p[0].x-p[1].x)*(p[2].y-p[3].y)==(p[0].y-p[1].y)*(p[2].x-p[3].x)) return 3; //平行
    return 2; //相交
}
int main()
{
    //freopen("cin.txt","r",stdin);
    int n;
    cin>>n;
    printf("INTERSECTING LINES OUTPUT\n");
    while(n--){
        for(int i=0;i<4;i++) scanf("%d%d",&p[i].x,&p[i].y);
        int res=judge();
        if(res==1) puts("LINE");
        else if(res==3) puts("NONE");
        else {
            int q1,q2;
            q1=multi(p[3],p[0],p[1])*p[2].x-multi(p[2],p[0],p[1])*p[3].x;
            q2=multi(p[3],p[0],p[1])-multi(p[2],p[0],p[1]);
            po.x=q1*1.0/q2;
            q1=multi(p[3],p[0],p[1])*p[2].y-multi(p[2],p[0],p[1])*p[3].y;
            po.y=q1*1.0/q2;
            printf("POINT %.2lf %.2lf\n",po.x,po.y);
        }
    }
    printf("END OF OUTPUT\n");
    return 0;
}