同余与模运算

转载自队友……

(a+b)%n = ((a%n)+(b%n))%n  
(a-b)%n = ((a%n)-(b%n)+n)%n  
ab%n = (long long)(a%n)*(b%n)%n  
其中要注意a%n*b%n的值可能超int  
  
10-1 大整数取模  
输入正整数n和m，输出n mod m的值。n<=10^100,m<=10^9  
  
将大整数写成“自左向右”的形式：1234%n=(((1*10+2)*10+3)*10+4)%n，然后就可以用之前的公式来处理了  
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cmath>  
#include<map>  
#include<queue>  
#include<stack>  
#include<vector>  
#include<ctype.h>  
#include<algorithm>  
#include<string>  
#define PI acos(-1.0)  
using namespace std;  
int main ()  
{  
    char n[110];  
    int m;  
    scanf("%s%d",n,&m);  
    int len=strlen(n);  
    long long ans=0;  
    for (int i=0; i<len; i++)  
        ans=(ans*10+n[i]-'0')%m;  
    printf("%d\n",ans);  
    return 0;  
}  
  
10-2 幂取模  
输入正整数a、n和m，输出a^n mod m的值。a,n,m <= 10^9  
  
#include<iostream>  
#include<cstdio>  
#include<cstring>  
#include<cmath>  
#include<map>  
#include<queue>  
#include<stack>  
#include<vector>  
#include<ctype.h>  
#include<algorithm>  
#include<string>  
#define PI acos(-1.0)  
using namespace std;  
int pow_mod(int a, long long n, int m)  
{  
    if (n==0) return 1;  
    int x=pow_mod(a,n/2,m);  
    long long ans=(long long)x*x%m;  
    if (n%2) ans=ans*a%m;  
    return (int)ans;  
}  
int main ()  
{  
    int a,m;  
    long long n;  
    cin>>a>>n>>m;  
    int ans=pow_mod(a,n,m);  
    cout<<ans<<endl;  
    return 0;  
}  
  
  
10-3 模线性方程  
输入正整数a,b,n，解方程ax≡b(mod n)。a,b,n<=10^9  
≡代表同余。即ax-b=ny。不难看出这就是一个扩展欧几里得算法  
  
还有就是ax≡1(mod n)的解称为a关于模n的逆元。ax-ny=1, 这代表了gcd(a,n)=1,才有唯一解。否则无解