理解Compressed Sparse Column Format (CSC)

最近在看《Spark for Data Science》这本书，阅读到《Machine Learning》这一节的时候被稀疏矩阵的存储格式CSC给弄的晕头转向的。所以专门写一篇文章记录一下我对这种格式的理解。

目的

Compressed Sparse Column Format (CSC)的目的是为了压缩矩阵，减少矩阵存储所占用的空间。这很好理解，手法无法就是通过增加一些"元信息"来描述矩阵中的非零元素存储的位置(基于列)，然后结合非零元素的值来表示矩阵。这样在一些场景下可以减少矩阵存储的空间。

Spark API

在Spark中我们一般创建这样的稀疏矩阵的API为：

   package org.apache.spark.ml.linalg
     /**
 * Creates a column-major sparse matrix in Compressed Sparse Column (CSC) format.
 *
 * @param numRows number of rows
 * @param numCols number of columns
 * @param colPtrs the index corresponding to the start of a new column
 * @param rowIndices the row index of the entry
 * @param values non-zero matrix entries in column major
 */
  @Since("2.0.0")
  def sparse(
     numRows: Int,
     numCols: Int,
     colPtrs: Array[Int],
     rowIndices: Array[Int],
     values: Array[Double]): Matrix = {
    new SparseMatrix(numRows, numCols, colPtrs, rowIndices, values)
  }

使用CSC格式表示稀疏矩阵

例如我们想创建一下如下的3x3的稀疏矩阵：

    1   0   4
    0   3   5
    2   0   6

我们就可以使用上面的这个api：

    import org.apache.spark.ml.linalg.{Matrix,Matrices}
    val sm: Matrix = Matrices.sparse(3,3, Array(0,2,3,6), Array(0,2,1,0,1,2), Array(1.0,2.0,3.0,4.0,5.0,6.0))
    输出如下：
    sm: org.apache.spark.ml.linalg.Matrix = 3 x 3 CSCMatrix
(0,0) 1.0
(2,0) 2.0
(1,1) 3.0
(0,2) 4.0
(1,2) 5.0
(2,2) 6.0

也就是说上面的3x3的矩阵，可以表示为下面3个数组：

    Array(0, 2, 3, 6)
    Array(0, 2, 1, 0, 1, 2)
    Array(1, 2, 3, 4, 5, 6)

说实话我第一次看到这个api的时候有点蒙。下面因为没太看懂上面三个Array中的第一个Array(0, 2, 3, 6)是怎么的出来的。也翻看了比较权威的资料（本文最下方的参考资料），但是感觉说的比较不清楚，因此下面谈谈我是如何理解的。

我的理解

上面的3个Array：(为了便于书写我没有写1.0，而是直接写为1)

    Array(0, 2, 3, 6)
    Array(0, 2, 1, 0, 1, 2)
    Array(1, 2, 3, 4, 5, 6)

其中第三个Array很好理解。它的值就是按照列，依次按照顺序记录的矩阵中的非零值。

第二个Array也比较好理解，他表示的是每一列，非零元素所在的行号，行号从0开始。比如上面的矩阵中，第一列元素1在第0行，元素2在第2行。

至于第1个Array理解起来稍微麻烦一些。我的总结就是：

• 第一个Array的元素个数就是（矩阵的列数+1），也就是矩阵是3列，那么这个Array的个数就是4.
• 第一个元素一直是0。第二个元素是第一列的非零元素的数量
• 后续的值为前一个值 + 下一列非零元素的数量

上面的总结可能看起来比较模糊，根据上面的例子我来分析一下：

• 首先矩阵的3x3的，所以第一个Array会有4个元素。第一个元素是0。得到Array（0）。
• 矩阵第一列有2个非零元素，所以得到Array的第二个元素为2.得到Array（0， 2）
• 矩阵的第二列有1个非零元素，那么第三个元素的数量为当前Array的最后一个元素加1，也就是2 + 1=3. 得到Array（0，2， 3）
• 矩阵的第三列有3个非零元素，那么Array的最后一个元素的值为 3 + 3 = 6. 得到Array（0， 2， 3， 6）

验证例子

对于下面的这个3x3的矩阵：

    1   0   2
    0   0   3
    4   5   6

我们可以得到3个Array为：

Array(0, 2, 3, 6)
Array(0, 2, 2, 0, 1, 2)
Array(1, 4, 5, 2, 3, 6)

对于下面的矩阵：

    9   0
    0   8
    0   6

我们可以得到3个Array来表示他：

    Array(0, 1, 3)
    Array(0, 1, 2)
    Array(9, 8, 6)

对于下面的矩阵：

    9   0   0   0
    0   8   6   5

我们可以表示为：

    Array(0, 1, 2, 3, 4)
    Array(0, 1, 1, 1)
    Array(9, 8, 6, 5)

根据CSC表示法，画出原始矩阵

上面展示了如何把稀疏矩阵使用CSC表示，那么反过来应该怎么操作呢，

假设有一个2x4的矩阵，他的CSC表示为：

    Array(0, 1, 2, 3, 4)
    Array(0, 1, 1, 1)
    Array(9, 8, 6, 5)

我大致描述一下还原的过程：

• 首先我们知道是2x4的矩阵，并且第一个Array的第二个元素是1，而且后续的每一个元素都比前一个元素大1，说明每一列都只有1个非零元素。
• 根据第二个数组，我们可以知道只有第一列的非零元素在第一行，2，3，4列的非零元素都在第二行
• 根据第三个Array，我们就可以比较简单的画出原始矩阵。

参考资料

• Sparse matrix
• Compressed Sparse Column Format (CSC)