Matlab 几种卷积的实现与比较（conv与filter，conv2与filter2）

最近在做控制算法实现的时候，对于其中参杂的各种差分、卷积很头疼，就在网上搜集了些资料，汇总于此，以做备忘。

在MATLAB中，可以用函数y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真，也可以用函数 y=conv(x,h)计算卷积。

（1）即y=filter(p,d,x)用来实现差分方程，d表示差分方程输出y的系数，p表示输入x的系数，而x表示输入序列。输出结果长度数等于x的长度。

实现差分方程，先从简单的说起：
filter([1,2],1,[1,2,3,4,5])，实现y[k]=x[k]+2*x[k-1]
y[1]=x[1]+2*0=1    (x[1]之前状态都用0)
y[2]=x[2]+2*x[1]=2+2*1=4

（2）y=conv(x,h)是用来实现卷级的，对x序列和h序列进行卷积，输出的结果个数等于x的长度与h的长度之和减去1。

卷积公式：z(n)=x(n)*y(n)= ∫x(m)y(n-m)dm.

程序一：以下两个程序的结果一样

（1）h = [3 2 1 -2 1 0 -4 0 3]; % impulse response

          x = [1 -2 3 -4 3 2 1]; % input sequence

         y = conv(h,x);

         n = 0:14;

         subplot(2,1,1);

         stem(n,y);

         xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');

        title('Output Obtained by Convolution'); grid;

（2）x1 = [x zeros(1,8)];

          y1 = filter(h,1,x1);

          subplot(2,1,2);

         stem(n,y1);

         xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude');

         title('Output Generated by Filtering'); grid;

 

程序二：filter和conv的不同

               x=[1,2,3,4,5];
               h=[1,1,1];

               y1=conv(h,x)
               y2=filter(h,1,x)
               y3=filter(x,1,h)

 结果：y1 = 1     3     6     9    12     9     5

       y2 = 1     3     6     9    12

‍              y3  = 1     3     6  

可见：filter函数y(n)是从n=0开始，认为所有n<0都为0；而conv是从卷积公式计算，包括n<0部分。

                因此filter 和conv 的结果长短不同

程序三：滤波后信号幅度的变化

                num=100; %总共1000个数 
                x=rand(1,num); %生成0~1随机数序列 
                x(x>0.5)=1; 
                x(x<=0.5)=-1;
                h1=[0.2,0.5,1,0.5,0.2]; 
                h2=[0,0,1,0,0];
                y1=filter(h1,1,x);
                y2=filter(h2,1,x);
                n=0:99;
                subplot(2,1,1);
                stem(n,y1);
                subplot(2,1,2); 
                stem(n,y2);

MATLAB中提供了卷积运算的函数命令conv2，其语法格式为： 
C = conv2(A,B) 
C = conv2(A,B)返回矩阵A和B的二维卷积C。若A为ma×na的矩阵，B为mb×nb的矩阵，则C的大小为(ma+mb+1)×(na+nb+1)。 

例： 
A=magic(5) 
A = 
17 24 1 8 15 
23 5 7 14 16 
4 6 13 20 22 
10 12 19 21 3 
11 18 25 2 9 
>> B=[1 2 1 ;0 2 0;3 1 3] 
B = 
1 2 1 
0 2 0 
3 1 3 
>> C=conv2(A,B) 
C = 
17 58 66 34 32 38 15 
23 85 88 35 67 76 16 
55 149 117 163 159 135 67 
79 78 160 161 187 129 51 
23 82 153 199 205 108 75 
30 68 135 168 91 84 9 
33 65 126 85 104 15 27 
MATLAB图像处理工具箱提供了基于卷积的图象滤波函数filter2，filter2的语法格式为： 
Y = filter2(h,X) 
其中Y = filter2(h,X)返回图像X经算子h滤波后的结果，默认返回图像Y与输入图像X大小相同。例如： 
其实filter2和conv2是等价的。MATLAB在计算filter2时先将卷积核旋转180度，再调用conv2函数进行计算。 
Fspecial函数用于创建预定义的滤波算子，其语法格式为： 
h = fspecial(type) 
h = fspecial(type,parameters) 
参数type制定算子类型，parameters指定相应的参数，具体格式为： 
type='average'，为均值滤波，参数为n，代表模版尺寸，用向量表示，默认值为[3,3]。 
type= 'gaussian'，为高斯低通滤波器，参数有两个，n表示模版尺寸，默认值为[3,3]，sigma表示滤波器的标准差，单位为像素，默认值为0.5