机器学习算法实现解析——libFM之libFM的模型处理部分

本节主要介绍的是libFM源码分析的第三部分——libFM的模型处理。

3.1、libFM中FM模型的定义

libFM模型的定义过程中主要包括模型中参数的设置及其初始化，利用模型对样本进行预测。在libFM中，首先定义FM模型，在fm_model类中实现对FM模型的定义，fm_model类在“\libfm-1.42.src\src\fm_core\fm_model.h”中。在定义fm_model类之前，使用到了一些数据类：

#include "../util/matrix.h"
#include "../util/fmatrix.h"

#include "fm_data.h"

数据类的具体定义在“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的数据处理部分”中定义。fm_model类的代码如下所示：

// fm_model模型类
class fm_model {
    private:
        DVector<double> m_sum, m_sum_sqr;// 分别对应着交叉项的中的两项
    public: //fm模型中的参数
        double w0;// 常数项
        DVectorDouble w;// 一次项的系数
        DMatrixDouble v;// 交叉项的系数矩阵

    public:
        // 属性
        // the following values should be set:
        uint num_attribute;// 特征的个数

        bool k0, k1;// 是否包含常数项和一次项
        int num_factor;// 交叉项因子的个数

        double reg0;// 常数项的正则参数
        double regw, regv;// 一次项和交叉项的正则系数

        double init_stdev;// 初始化参数时的方差
        double init_mean;// 初始化参数时的均值

        // 函数
        fm_model();// 构造函数，主要完成参数的初始化
        void debug();// debug函数
        void init();// 初始化函数，主要用于生成各维度系数的初始值
        // 对样本进行预测
        double predict(sparse_row<FM_FLOAT>& x);
        double predict(sparse_row<FM_FLOAT>& x, DVector<double> &sum, DVector<double> &sum_sqr);
};

FM模型的一般形式如下所示：

y^:=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n−1∑j=i+1n⟨vi,vj⟩xixj

其中， w0 为常数项系数， wi 为一次项系数， vi 和 vj 为交叉项系数。对于交叉项系数 vi ，其具体的形式为：

vi=(vi,1,vi,2,⋯,vi,k)1×k

在FM模型的定义中，首先需要分别定义三个参数：w0，w和v。其次，需要定义模型中需要使用到的函数，包括初始化init函数和预测predict函数。

3.2、FM的初始化

完成FM模型初始化过程主要包括两个部分：

• 构造函数fm_model()
• init()函数

构造函数fm_model()的具体实现如下所示：

// fm_model类的构造函数
fm_model::fm_model() {
    num_factor = 0;// 交叉项中因子的个数
    init_mean = 0;// 初始化的均值
    init_stdev = 0.01;// 初始化的方差
    reg0 = 0.0;// 常数项的正则化参数
    regw = 0.0;// 一次项的正则化参数
    regv = 0.0;// 交叉项的正则化参数 
    k0 = true;// 是否包含常数项
    k1 = true;// 是否包含一次项
}

init()函数的具体实现如下所示：

// 初始化fm模型的函数
void fm_model::init() {
    w0 = 0;// 常数项的系数
    w.setSize(num_attribute);// 设置一次项系数的个数
    v.setSize(num_factor, num_attribute);// 设置交叉项的矩阵大小
    w.init(0);// 初始化一次项系数为0
    v.init(init_mean, init_stdev);// 按照均值和方差初始化交叉项系数
    // 交叉项中的两个参数，设置其大小为num_factor
    m_sum.setSize(num_factor);
    m_sum_sqr.setSize(num_factor);
}

在初始化的过程中，除了基本的数据类型外，还涉及到自定义的三种数据类型，分别为：DVectorDouble，DMatrixDouble和DVector，这三种数据类型在“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的数据处理部分”中有详细说明。

3.3、利用FM模型对样本进行预测

在libFM中，fm_model类中实现了两种预测函数，分别为：

double predict(sparse_row<FM_FLOAT>& x);
double predict(sparse_row<FM_FLOAT>& x, DVector<double> &sum, DVector<double> &sum_sqr);

两者的区别主要是下面的函数多了两个参数，一个是sum，另一个是sum_sqr，这两个参数分别对应着交叉项计算过程中的两项。

FM模型中的计算方法为：

y^:=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n−1∑j=i+1n⟨vi,vj⟩xixj

其中，对于交叉项的计算，在FM算法中提出了快速的计算方法，即：

∑i=1n−1∑j=i+1n⟨vi,vj⟩xixj=12∑i=1n∑j=1n⟨vi,vj⟩xixj−12∑i=1n⟨vi,vi⟩xixi=12⎛⎝∑i=1n∑j=1n∑f=1kvi,fvj,fxixj−∑i=1n∑f=1kvi,fvj,fx2i⎞⎠=12∑f=1k⎛⎝(∑i=1nvi,fxi)⋅⎛⎝∑j=1nvj,fxj⎞⎠−∑i=1nv2i,fx2i⎞⎠=12∑f=1k⎛⎝(∑i=1nvi,fxi)2−∑i=1nv2i,fx2i⎞⎠

利用上面的计算公式，libFM中的两个函数的实现如下所示：

// 对样本进行预测，其中x表示的是一行样本
double fm_model::predict(sparse_row<FM_FLOAT>& x) {
    return predict(x, m_sum, m_sum_sqr);        
}

double fm_model::predict(sparse_row<FM_FLOAT>& x, DVector<double> &sum, DVector<double> &sum_sqr) {
    double result = 0;// 最终的结果
    // 第一部分
    if (k0) {// 常数项 
        result += w0;
    }

    // 第二部分
    if (k1) {// 一次项
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {// 对样本中的每一个特征
            assert(x.data[i].id < num_attribute);// 验证样本的正确性
            // w * x
            result += w(x.data[i].id) * x.data[i].value;
        }
    }

    // 第三部分
    // 交叉项，对应着公式，有两重循环
    for (int f = 0; f < num_factor; f++) {// 外层循环
        sum(f) = 0;
        sum_sqr(f) = 0;
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            double d = v(f,x.data[i].id) * x.data[i].value;
            sum(f) += d;
            sum_sqr(f) += d*d;
        }
        result += 0.5 * (sum(f)*sum(f) - sum_sqr(f));// 得到交叉项的值
    }
    return result;
}

在交叉项的计算过程中，sum(f)和sum_sqr(f)与公式中的对应关系为：

3.4、其他

剩下的代码便是debug函数，debug函数用于打印中间的结果，其具体的代码如下所示：

// debug函数，主要用于输出中间调试的结果
void fm_model::debug() {
    std::cout << "num_attributes=" << num_attribute << std::endl;// 特征的个数
    std::cout << "use w0=" << k0 << std::endl;//是否包含常数项
    std::cout << "use w1=" << k1 << std::endl;//是否包含一次项
    std::cout << "dim v =" << num_factor << std::endl;//交叉项中因子的个数
    std::cout << "reg_w0=" << reg0 << std::endl;//常数项的正则化参数
    std::cout << "reg_w=" << regw << std::endl;//一次项的正则化参数
    std::cout << "reg_v=" << regv << std::endl;//交叉项的正则化参数
    std::cout << "init ~ N(" << init_mean << "," << init_stdev << ")" << std::endl;//初始化的均值和初始化的方差
}

参考文献

• Rendle S. Factorization Machines[C]// IEEE International Conference on Data Mining. IEEE Computer Society, 2010:995-1000.
• Rendle S. Factorization Machines with libFM[M]. ACM, 2012.