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B树的定义
假设B树的度为t(t>=2),则B树满足如下要求:(参考算法导论)
(1) 每个非根节点至少包含t-1个关键字,t个指向子节点的指针;至多包含2t-1个关键字,2t个指向子女的指针(叶子节点的子女为空)。
(2) 节点的所有key按非降序存放,假设节点的关键字分别为K[1], K[2] … K[n], 指向子女的指针分别为P[1], P[2]…P[n+1],其中n为节点关键字的个数。则有:
P[1] <= K[1] <= P[2] <= K[2] …..<= K[n] <= P[n+1] // 这里P[n]也指其指向的关键字
(3) 若根节点非空,则根节点至少包含两个子女;
(4) 所有的叶子节点都在同一层。
B树的搜索,search(root, target)
从root出发,对每个节点,找到大于或等于target关键字中最小的K[i],如果K[i]与target相等,则查找成功;否则在P[i]中递归搜索target,直到到达叶子节点,如仍未找到则说明关键字不在B树中,查找失败。
B树的插入,insert(root, target)
B树的插入需要沿着搜索的路径从root一直到叶节点,根据B树的规则,每个节点的关键字个数在[t-1, 2t-1]之间,故当target要加入到某个叶子时,如果该叶子节点已经有2t-1个关键字,则再加入target就违反了B树的定义,这时就需要对该叶子节点进行分裂,将叶子以中间节点为界,分成两个包含t-1个关键字的子节点,同时把中间节点提升到该叶子的父节点中,如果这样使得父节点的关键字个数超过2t-1,则要继续向上分裂,直到根节点,根节点的分裂会使得树加高一层。
上面的过程需要回溯,那么能否从根下降到叶节点后不回溯就能完成节点的插入呢?答案是肯定的,核心思想就是未雨绸缪,在下降的过程中,一旦遇到已满的节点(关键字个数为2t-1),就就对该节点进行分裂,这样就保证在叶子节点需要分裂时,其父节点一定是非满的,从而不需要再向上回溯。
B树的删除,delete(root, target)
在删除B树节点时,为了避免回溯,当遇到需要合并的节点时就立即执行合并,B树的删除算法如下:从root向叶子节点按照search规律遍历:
(1) 如果target在叶节点x中,则直接从x中删除target,情况(2)和(3)会保证当再叶子节点找到target时,肯定能借节点或合并成功而不会引起父节点的关键字个数少于t-1。
(2) 如果target在分支节点x中:
(a) 如果x的左分支节点y至少包含t个关键字,则找出y的最右的关键字prev,并替换target,并在y中递归删除prev。
(b) 如果x的右分支节点z至少包含t个关键字,则找出z的最左的关键字next,并替换target,并在z中递归删除next。
(c) 否则,如果y和z都只有t-1个关键字,则将targe与z合并到y中,使得y有2t-1个关键字,再从y中递归删除target。
(3) 如果关键字不在分支节点x中,则必然在x的某个分支节点p[i]中,如果p[i]节点只有t-1个关键字。
(a) 如果p[i-1]拥有至少t个关键字,则将x的某个关键字降至p[i]中,将p[i-1]的最大节点上升至x中。
(b) 如果p[i+1]拥有至少t个关键字,则将x个某个关键字降至p[i]中,将p[i+1]的最小关键字上升至x个。
(c) 如果p[i-1]与p[i+1]都拥有t-1个关键字,则将p[i]与其中一个兄弟合并,将x的一个关键字降至合并的节点中,成为中间关键字。
B树的实现
数据结构
- /**
- * @brief the degree of btree
- * key per node: [M-1, 2M-1]
- * child per node: [M, 2M]
- */
- #define M 2 // M为B树的度
- typedef struct btree_node {
- int k[2*M-1];
- struct btree_node *p[2*M];
- int num;
- bool is_leaf;
- } btree_node;
创建B树
- btree_node *btree_node_new()
- {
- btree_node *node = (btree_node *)malloc(sizeof(btree_node));
- if(NULL == node) {
- return NULL;
- }
- for(int i = 0; i < 2 * M -1; i++) { // 初始化key
- node->k[i] = 0;
- }
- for(int i = 0; i < 2 * M; i++) { // 初始化pointer
- node->p[i] = NULL;
- }
- node->num = 0;
- node->is_leaf = true; // 默认为叶子
- }
- btree_node *btree_create()
- {
- btree_node *node = btree_node_new();
- if(NULL == node) {
- return NULL;
- }
- return node;
- }
插入节点
- // 当child满时,将其进行分裂,child = parent->p[pos]
- int btree_split_child(btree_node *parent, int pos, btree_node *child)
- {
- // 创建新的节点
- btree_node *new_child = btree_node_new();
- if(NULL == new_child) {
- return -1;
- }
// 新节点的is_leaf与child相同,key的个数为M-1
- new_child->is_leaf = child->is_leaf;
- new_child->num = M - 1;
-
- // 将child后半部分的key拷贝给新节点
- for(int i = 0; i < M - 1; i++) {
- new_child->k[i] = child->k[i+M];
- }
// 如果child不是叶子,还需要把指针拷过去,指针比节点多1
- if(false == new_child->is_leaf) {
- for(int i = 0; i < M; i++) {
- new_child->p[i] = child->p[i+M];
- }
- }
- child->num = M - 1;
// child的中间节点需要插入parent的pos处,更新parent的key和pointer
- for(int i = parent->num; i > pos; i--) {
- parent->p[i+1] = parent->p[i];
- }
- parent->p[pos+1] = new_child;
- for(int i = parent->num - 1; i >= pos; i--) {
- parent->k[i+1] = parent->k[i];
- }
- parent->k[pos] = child->k[M-1];
-
- parent->num += 1;
- }
// 执行该操作时,node->num < 2M-1
- void btree_insert_nonfull(btree_node *node, int target)
- {
- if(1 == node->is_leaf) { // 如果在叶子中找到,直接删除
- int pos = node->num;
- while(pos >= 1 && target < node->k[pos-1]) {
- node->k[pos] = node->k[pos-1];
- pos--;
- }
- node->k[pos] = target;
- node->num += 1;
- } else { // 沿着查找路径下降
- int pos = node->num;
- while(pos > 0 && target < node->k[pos-1]) {
- pos--;
- }
- if(2 * M -1 == node->p[pos]->num) {
- btree_split_child(node, pos, node->p[pos]); // 如果路径上有满节点则分裂
- if(target > node->k[pos]) {
- pos++;
- }
- }
-
- btree_insert_nonfull(node->p[pos], target);
- }
- }
//插入入口
- btree_node* btree_insert(btree_node *root, int target)
- {
- if(NULL == root) {
- return NULL;
- }
-
- // 对根节点的特殊处理,如果根是满的,唯一使得树增高的情形
- // 先申请一个新的
- if(2 * M - 1 == root->num) {
- btree_node *node = btree_node_new();
- if(NULL == node) {
- return root;
- }
-
- node->is_leaf = 0;
- node->p[0] = root;
- btree_split_child(node, 0, root);
- btree_insert_nonfull(node, target);
- return node;
- } else {
- btree_insert_nonfull(root, target);
- return root;
- }
- }
删除节点
- // 将y,root->k[pos], z合并到y节点,并释放z节点,y,z各有M-1个节点
- void btree_merge_child(btree_node *root, int pos, btree_node *y, btree_node *z)
- {
- // 将z中节点拷贝到y的后半部分
- y->num = 2 * M - 1;
- for(int i = M; i < 2 * M - 1; i++) {
- y->k[i] = z->k[i-M];
- }
- y->k[M-1] = root->k[pos]; // k[pos]下降为y的中间节点
-
- // 如果z非叶子,需要拷贝pointer
- if(false == z->is_leaf) {
- for(int i = M; i < 2 * M; i++) {
- y->p[i] = z->p[i-M];
- }
- }
// k[pos]下降到y中,更新key和pointer
- for(int j = pos + 1; j < root->num; j++) {
- root->k[j-1] = root->k[j];
- root->p[j] = root->p[j+1];
- }
- root->num -= 1;
- free(z);
- }
// 删除入口
- btree_node *btree_delete(btree_node *root, int target)
- {
- // 特殊处理,当根只有两个子女,切两个子女的关键字个数都为M-1时,合并根与两个子女
- // 这是唯一能降低树高的情形
- if(1 == root->num) {
- btree_node *y = root->p[0];
- btree_node *z = root->p[1];
- if(NULL != y && NULL != z &&
- M - 1 == y->num && M - 1 == z->num) {
- btree_merge_child(root, 0, y, z);
- free(root);
- btree_delete_nonone(y, target);
- return y;
- } else {
- btree_delete_nonone(root, target);
- return root;
- }
- } else {
- btree_delete_nonone(root, target);
- return root;
- }
- }
// root至少有个t个关键字,保证不会回溯
- void btree_delete_nonone(btree_node *root, int target)
- {
- if(true == root->is_leaf) { // 如果在叶子节点,直接删除
- int i = 0;
- while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
- if(target == root->k[i]) {
- for(int j = i + 1; j < 2 * M - 1; j++) {
- root->k[j-1] = root->k[j];
- }
- root->num -= 1;
- } else {
- printf("target not found\n");
- }
- } else { // 在分支中
- int i = 0;
- btree_node *y = NULL, *z = NULL;
- while(i < root->num && target > root->k[i]) i++;
- if(i < root->num && target == root->k[i]) { // 如果在分支节点找到target
- y = root->p[i];
- z = root->p[i+1];
- if(y->num > M - 1) {
- // 如果左分支关键字多于M-1,则找到左分支的最右节点prev,替换target
- // 并在左分支中递归删除prev,情况2(a)
- int pre = btree_search_predecessor(y);
- root->k[i] = pre;
- btree_delete_nonone(y, pre);
- } else if(z->num > M - 1) {
- // 如果右分支关键字多于M-1,则找到右分支的最左节点next,替换target
- // 并在右分支中递归删除next,情况2(b)
- int next = btree_search_successor(z);
- root->k[i] = next;
- btree_delete_nonone(z, next);
- } else {
- // 两个分支节点数都为M-1,则合并至y,并在y中递归删除target,情况2(c)
- btree_merge_child(root, i, y, z);
- btree_delete(y, target);
- }
- } else { // 在分支没有找到,肯定在分支的子节点中
- y = root->p[i];
- if(i < root->num) {
- z = root->p[i+1];
- }
- btree_node *p = NULL;
- if(i > 0) {
- p = root->p[i-1];
- }
- if(y->num == M - 1) {
- if(i > 0 && p->num > M - 1) {
- // 左邻接节点关键字个数大于M-1
- btree_shift_to_right_child(root, i-1, p, y); //情况3(a)
- } else if(i < root->num && z->num > M - 1) {
- // 右邻接节点关键字个数大于M-1
- btree_shift_to_left_child(root, i, y, z); // 情况3(b)
- } else if(i > 0) {
- btree_merge_child(root, i-1, p, y); // 情况3(c)
- y = p;
- } else {
- btree_merge_child(root, i, y, z); // 情况3(c)
- }
- btree_delete_nonone(y, target);
- } else {
- btree_delete_nonone(y, target);
- }
- }
- }
- }
//寻找rightmost,以root为根的最大关键字
- int btree_search_predecessor(btree_node *root)
- {
- btree_node *y = root;
- while(false == y->is_leaf) {
- y = y->p[y->num];
- }
- return y->k[y->num-1];
- }
// 寻找leftmost,以root为根的最小关键字
- int btree_search_successor(btree_node *root)
- {
- btree_node *z = root;
- while(false == z->is_leaf) {
- z = z->p[0];
- }
- return z->k[0];
- }
// z向y借节点,将root->k[pos]下降至z,将y的最大关键字上升至root的pos处
- void btree_shift_to_right_child(btree_node *root, int pos,
- btree_node *y, btree_node *z)
- {
- z->num += 1;
- for(int i = z->num -1; i > 0; i--) {
- z->k[i] = z->k[i-1];
- }
- z->k[0]= root->k[pos];
- root->k[pos] = y->k[y->num-1];
- if(false == z->is_leaf) {
- for(int i = z->num; i > 0; i--) {
- z->p[i] = z->p[i-1];
- }
- z->p[0] = y->p[y->num];
- }
- y->num -= 1;
- }
// y向借节点,将root->k[pos]下降至y,将z的最小关键字上升至root的pos处
- void btree_shift_to_left_child(btree_node *root, int pos,
- btree_node *y, btree_node *z)
- {
- y->num += 1;
- y->k[y->num-1] = root->k[pos];
- root->k[pos] = z->k[0];
- for(int j = 1; j < z->num; j++) {
- z->k[j-1] = z->k[j];
- }
- if(false == z->is_leaf) {
- y->p[y->num] = z->p[0];
- for(int j = 1; j <= z->num; j++) {
- z->p[j-1] = z->p[j];
- }
- }
- z->num -= 1;
- }
插入与删除过程(图片为层序遍历的结果)
插入序列[18, 31, 12, 10, 15, 48, 45, 47, 50, 52, 23, 30, 20]
删除序列[15, 18, 23, 30, 31, 52, 50, 48, 47, 45, 20, 12, 10]
B+树
与B树不同的时,B+树的关键字都存储在叶子节点,分支节点均为索引,在实现上大致与B树类似,在几个细节稍有不同。
(1) 数据结构中增加prev,next指针,用于将叶子节点串成有序双向链表。
(2) 在节点分裂的时候,如果分裂的节点为叶子,则需要把中间节点保留在左(或右)边的分支上,并且需要更新prev和next。
(3) 在节点合的时候,如果合并的节点为叶子,不需要把跟节点下降为中间节点,并且需要更新prev和next。
(4) 在向邻接节点借节点时,借来的关键字并不是父节点的关键字,而是邻接点的关键字,并根据实际情况更新父节点的索引。
btree.rar C语言实现,因用到了bool变量,编译时请使用g++ -o btree btree.c