【机器学习】covariate shift现象的解释

一、什么是covariate shift？

在论文中经常碰到covariate shift这个词，网上相关的中文解释比较少。你可能会在介绍深度学习Batch Normalization方法的论文到中看到covariate shift这个词，并且所有看过这篇论文的或者实际做过工程的人，都知道BN这种归一化手段很好用，可以避免covariate shift

那么covariate shift到底是什么？
不用想得太复杂，covariate shift最早只是机器学习中的一个问题。同时迁移学习会经常涉及到这个概念。
假设x是属于特征空间的某一样本点，y是标签。covariate这个词，其实就是指这里的x，那么covariate shift可以直接根据字面意思去理解：样本点x的变化。
这么简单？没错就是这么简单！

我们讲的规范一点：
假设q1（x）是测试集中一个样本点的概率密度，q0（x）是训练集中一个样本点的概率密度。最终我们估计一个条件概率密度p(y|x，θ)，它由x和一组参数θ=｛θ1，θ2......θm｝所决定。对于一组参数来说，对应loss(θ)函数评估性能的好坏
综上，当我们找出在q0（x）分布上最优的一组θ'时，能否保证q1（x）上测试时也最好呢？
传统机器学习假设训练集和测试集是独立同分布的，即q0（x）=q1（x），所以可以推出最优θ'依然可以保证q1（x）最优。但现实当中这个假设往往不成立，伴随新数据产生，老数据会过时，当q0（x）不再等于q1（x）时，就被称作covariate shift

二、怎么解决covariate shift？

以上已经知道一个样本点分别在训练集和测试集上的概率密度q0（x）和q1（x），实际当中的解决方案是附加一个由x决定的权值

使得在训练过程当中对于q1（x）很大或者q0（x）很小的样本视作“重要”样本，这样的样本是有益于测试集预测的，我们应该尽量把它分类正确。而对于q1（x）很小或者q0（x）很大的样本，它只是被时代遗弃的“老数据”，这些样本对于模型训练的意义也是无关紧要了

举一个形象的例子：

现在我们要通过多项式回归预测某一个函数。数据产生通过下式，并且用正态分布产生噪声加在上面

通过一个其中产生q0（x）当作训练集，大小为n=100

假设模型的形式是，最终训练得到一根直线去尽可能拟合这些点。

实验结果如左图，最终得到一条线，对应图中OLS

根据其中生成测试集q1（x），如右图

最理想的情况，我们直接拟合测试集的点，得到右图中的实线，和左边的线完全不一样，看出covariate shift发生了。

但是我们需要测试集的辅助来解决covariate shift问题（如果直接训练测试集就毫无意义了），求得

通过附加权值的方法，最终训练得到左图中虚线WLS

可以看出最终得到的模型，是可以很好的适应测试集的。

从迁移学习的角度看，这也是一种用source domain的标签数据，结合target domain的无标签数据，指导进行知识的迁移的方法。