电磁场与电磁波之矢量分析

第一章  矢量分析

1.1矢量代数

1. 场的概念：在电磁场理论中，要研究某些物理量（如电位、电场强度、磁场强度等）在空间的分布和变化规律。为此，我们的科学家们引入了“场”的概念。如果每一时刻，一个物理量在空间中的每一点都有一个确定的值，则称在此空间中确定了该物理量的场。（time、point、value）
2. 矢量分析：因为电磁场是分布在三维空间的矢量场，所以，为了研究电磁场在空间的分布和变化规律，我们要先掌握一种基本的数学工具——矢量分析。
3. 梯度：标量场在空间的变化规律由其“梯度”来描述。
4. 散度和旋度：矢量场在空间的变化规律通过场的散度和旋度来描述。
5. 矢量：一般的三维空间内某一点P处存在的一个既有大小又有方向特性的量称为矢量。一个矢量A可用一条有方向的线段来表示。
6. 单位矢量:eA=A/A.
7. 矢量的乘法（满足分配律）：点积（标积）A·B、叉积（矢积）A×B
8. 矢量三重积、标量三重积
9. 三种常用的正交坐标系：为了考察物理量在空间的分布和变化规律，必须引入坐标系。在电磁场理论中，最常用的坐标系为直角坐标系、圆柱坐标系、球坐标系。
10. 两个矢量的和等于对应分量之和。
11. 位置矢量：位置矢量是在某一时刻，以坐标原点为起点，以运动质点所在位置为终点的有向线段。
12. 位置矢量的微分元
13. 单位矢量、面积元、体积元
14. 三个相互正交的坐标单位矢量，遵循右手螺旋法则。
15. 常矢量：方向总是随空间坐标变化的矢量。
16. 变换关系：eρ=excosφ+eysinφ     注释：等号两边，模的大小相等，方向一致。
17. 度量系数：dρ、ρdφ和dz都是长度，它们同各自坐标的微分之比称为度量系数（或拉梅系数）——hρ、hφ、hz

1.3标量场的梯度

1. 场的分类：物理状态是否与时间无关（静态场、动态场）、所研究的物理量是标量还是矢量（标量场、矢量场）
2. 标量场的等值面：描述了场量u的分布状况
3. 方向导数：研究标量场中任一点的领域内沿各个方向的变化规律。换句话说，就是在标量场（某一空间的标量函数）中，从某一点出发，沿着某一特定方向的导数。
4. 方向导数的计算公式：？？？
5. 方向余弦
6. 梯度：在标量场中，从一个给定点出发有无穷多个方向。一般来说，标量场在同一点M处沿不同的方向上的变化率是不同的，在某个方向上，变化率可能最大。而梯度正是一个定点处的沿某方向变化率最大的矢量。
7. 梯度的计算式：由方向导数的计算公式推出。
8. 哈密顿算符