浮点数的表示和精度
如果a>0，那么1+a一定大于1吗？在数学上，答案是肯定的。但在计算机上，答案就与a的大小和浮点数的精度有关了。在matalb上，可以作以下计算：
>> a=1/2^52
a =
2.220446049250313e-016
>> 1+a>1
ans =
1
>> a=1/2^53
a =
1.110223024625157e-016
>> 1+a>1
ans =
0
可见，当a等于1/2^53时，1+a>1是不成立的。
1 浮点数
IEEE754定义了单精度浮点数和双精度数浮点数，即float和double。float有32bit，double有64bit。它们都包括符号位、指数和尾数。
| 符号位 | 指数 | 尾数 | |
| float | 31(1) | 30-23(8) | 22-0(23) |
| double | 63(1) | 62-52(11) | 51-0(52) |
符号位有1bit，0表示正、1表示负。设一个数的指数是e，指数部分的值是bias+e。加上一个bias是为了表示负数。 float的bias是127，double的bias是1023。指数全0或全1有特殊含义，不算正常指数。
- float的指数部分有8bit，可以取值1~254，减掉127，得到对应的指数范围-126~127。
- double的指数部分有11位，可以取值1~2046，减掉1023，得到对应的指数范围-1022~1023。
这里的指数是以2为底的，同样尾数也是二进制的。IEEE754要求浮点数以规范形式存储，即小数点前有1位非零数字。对于二进制数，非零数字只有1。所以IEEE754在存储时省略了这个小数点前面的1，只存储小数点后面的位。
2 误差
看个例子，设：
double a=0.2;
在PC上，我们可以看到a对应的存储区数据是：
9A 99 99 99 99 99 C9 3F
PC的数据是小尾的，即低位字节在后，将其写成高位字节在前，得到：
3F C9 99 99 99 99 99 9A
可见符号位为0。指数位是0x3FC，即1020，减掉1023，得到指数-3。尾数是999999999999A。所以完整的数字就是16进制的1.999999999999A乘上2^-3。即：
a=(1+9*(1/16+1/16^2+...+1/16^12)+10/16^13)*2^-3
(1/16+...+1/16^12)可以用等比级数求和公式a1*(1-q^n)/(1-q)计算，其中a1=1/16，q=1/16，n=12，因此：
a=(1+9*(1-1/16^12)/15+10/16^13)*2^-3
用windows的计算器计算上式，得到
a=0.2000 0000 0000 0000 1110 2230 2462 5157
这也不是精确解，但已经可以看到用double表示0.2时存在的误差。这个例子说明在用有限字长的二进制浮点数表示任意实数a可能引入误差。设实数a的指数为e，尾数位数为n，显然：
误差<(1/2^n)*2^e
3 精度
可以把机器精度定义为满足条件
fl(1+ε)>1
的最小浮点数ε。其中fl(1+ε)是1+ε的浮点表示。显然double的机器精度是1/2^52。float的机器精度是1/2^23。 matlab内部采用double，1+1/2^53对double来说就是1，所以1+1/2^53不会大于1。
对于规范数来说，因为小数点前默认有个1，所以float的有效数字是24bit，对应8位十进制有效数字； double的有效数字是53bit，对应16位十进制有效数字。
4 特殊的浮点数
前面提到浮点数的指数全0或全1有特殊含义，让我们来看看这些特殊的浮点数：
- 指数和尾数都是全0表示0。根据符号位不同可以分为+0和-0。
- 指数全0，尾数不为全0，这些数是非规范数，即尾数部分不假设前面存在小数点前的1。或者说这些数太接近0了，因为指数已经不能再小，所以这些数不能写成规范形式。例如：double数0000 0000 0000 0001的尾数是0 0000 0000 0001，即1/2^52，对应的数是1/(2^52)*2^-1022，即4.9406564584124654e-324。
- 指数全1，尾数全0表示无穷大，即inf。根据符号位不同可以分为+inf和-inf。
- 指数全1，尾数不为全0表示NaN，即Not a Number，不是数。尾数最高位为1的NaN被称作QNaN（Quiet NaN）。尾数最高位为0的NaN被称作SNaN（Signalling NaN）。通常用QNaN表示不确定的操作，用SNaN表示无效的操作。
在计算机内部，double就是一个64位数。从0x0000 0000 0000 0000~0xFFFF FFFF FFFF FFFF，每个64位数都对应一个浮点数或NaN。我写了一个小程序，按照64位无符号整数的顺序打印出典型的浮点数。表格的第一列是浮点数的内部表示。为了便于阅读，按大尾顺序输出。第二列是对应的浮点数。第三列是注释，对于非规范数和规范数给出了由内部表示计算数值的matlab算式。注意在C/C++中，2^52要写成pow(2.0,52.0)。
| 0000 0000 0000 0000 | 0.0000000000000000e+000 | +0 |
| 0000 0000 0000 0001 | 4.9406564584124654e-324 | 1/(2^52)*2^-1022 |
| 000F FFFF FFFF FFFF | 2.2250738585072009e-308 | .5*(1-.5^52)/(1-.5)*2^-1022 |
| 0010 0000 0000 0000 | 2.2250738585072014e-308 | 1.0*2^-1022 |
| 0010 0000 0000 0001 | 2.2250738585072019e-308 | (1+1/2^52)*2^(-1022) |
| 001F FFFF FFFF FFFF | 4.4501477170144023e-308 | (1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^-1022 |
| 0020 0000 0000 0000 | 4.4501477170144028e-308 | 1.0*2^-1021 |
| 3FF0 0000 0000 0000 | 1.0000000000000000e+000 | 1.0 |
| 3FF0 0000 0000 0001 | 1.0000000000000002e+000 | 1.0+1/(2^52) |
| 3FFF FFFF FFFF FFFF | 1.9999999999999998e+000 | 1+.5*(1-.5^52)/(1-.5) |
| 4000 0000 0000 0000 | 2.0000000000000000e+000 | 1.0*2^1 |
| 7FEF FFFF FFFF FFFF | 1.7976931348623157e+308 | (1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^1023 |
| 7FF0 0000 0000 0000 | 1.#INF000000000000e+000 | +INF |
| 7FF0 0000 0000 0001 | 1.#SNAN00000000000e+000 | SNaN |
| 7FF7 FFFF FFFF FFFF | 1.#SNAN00000000000e+000 | SNaN |
| 7FF8 0000 0000 0000 | 1.#QNAN00000000000e+000 | QNaN |
| 7FFF FFFF FFFF FFFF | 1.#QNAN00000000000e+000 | QNaN |
| 8000 0000 0000 0000 | 0.0000000000000000e+000 | -0 |
| 8000 0000 0000 0001 | -4.9406564584124654e-324 | -(1/(2^52)*2^-1022) |
| 800F FFFF FFFF FFFF | -2.2250738585072009e-308 | -(.5*(1-.5^52)/(1-.5)*2^-1022) |
| 8010 0000 0000 0000 | -2.2250738585072014e-308 | -(1.0*2^-1022) |
| 8010 0000 0000 0001 | -2.2250738585072019e-308 | -((1+1/2^52)*2^(-1022)) |
| 801F FFFF FFFF FFFF | -4.4501477170144023e-308 | -((1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^-1022) |
| 8020 0000 0000 0000 | -4.4501477170144028e-308 | -(1.0*2^-1021) |
| BFF0 0000 0000 0000 | -1.0000000000000000e+000 | -1.0 |
| BFFF FFFF FFFF FFFF | -1.9999999999999998e+000 | -(1+.5*(1-.5^52)/(1-.5)) |
| C000 0000 0000 0000 | -2.0000000000000000e+000 | -(1.0*2^1) |
| FFEF FFFF FFFF FFFF | -1.7976931348623157e+308 | -((1+.5*(1-.5^52)/(1-.5))*2^1023) |
| FFF0 0000 0000 0000 | -1.#INF000000000000e+000 | -INF |
| FFF0 0000 0000 0001 | -1.#SNAN00000000000e+000 | SNaN |
| FFF7 FFFF FFFF FFFF | -1.#SNAN00000000000e+000 | SNaN |
| FFF8 0000 0000 0000 | -1.#IND000000000000e+000 | QNaN |
| FFFF FFFF FFFF FFFF | -1.#QNAN00000000000e+000 | QNaN |
从表中可以看到，double内部表示的设计是很有规律的，按照对应64位数的顺序依次为 +0、正非规范数、正规范数、正无穷大、符号位为正的NaN、-0、负非规范数、负规范数、负无穷大、符号位为负的NaN。
double内部表示的设计保持了浮点数的有序性。即：如果正double数a<正double数b，则a对应的64位无符号整数<b对应的64位无符号整数。负数因为差了个符号，所以浮点数与对应整数的顺序相反。 float也有类似的规律。
4 结束语
float和int都是32bit，但float的尾数只用了23bit。int的精度高于float，float的表示范围大于int。float牺牲精度换取了更大的表示范围。 double的尾数是52bit，高于32bit的int，所以用dobule表示int不会有精度损失。 double是科学计算的常用类型，了解double的内在和限制，有助于我们更好地使用它。