拓扑排序

　　拓扑排序(Topological Sort)
　　对一个有向无环图(Directed Acyclic Graph简称DAG)G进行拓扑排序，是将G中所有顶点排成一个线性序列，使得图中任意一对顶点u和v，若<u，v> ∈E(G)，则u在线性序列中出现在v之前。
　　通常，这样的线性序列称为满足拓扑次序(TopoiSicai Order)的序列，简称拓扑序列。
　　注意：
　　①若将图中顶点按拓扑次序排成一行，则图中所有的有向边均是从左指向右的。
　　②若图中存在有向环，则不可能使顶点满足拓扑次序。
　　③一个DAG的拓扑序列通常表示某种方案切实可行。
　　【例】对学生选课工程图进行拓扑排序, 得到的拓扑有序序列为
　　C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C8 , C9 , C7
　　或 C1 , C8 , C9 , C2 , C5 , C3 , C4 , C7 , C6
　　【例】一本书的作者将书本中的各章节学习作为顶点，各章节的先学后修关系作为边，构成一个有向图。按有向图的拓扑次序安排章节，才能保证读者在学习某章节时，其预备知识已在前面的章节里介绍过。
　　④一个DAG可能有多个拓扑序列。
　　【例】对图G9进行拓扑排序，至少可得到如下的两个(实际远不止两个)拓扑序列：C0，C1，C2，C4，C3，C5，C7，C8，C6和C0，C7，C9，C1，C4，C2，C3，C6，C5。
　　⑤当有向图中存在有向环时，拓扑序列不存在
　　【例】下面(a)图中的有向环重排后如(b)所示，有向边<v3，vl>和其它边反向。若有向图被用来表示某项工程实施方案或某项工作计划，则找不到该图的拓扑序列(即含有向环)，就意味着该方案或计划是不可行的。
　　无前趋的顶点优先的拓扑排序方法
　　该方法的每一步总是输出当前无前趋(即入度为零)的顶点，其抽象算法可描述为：
　　NonPreFirstTopSort(G){//优先输出无前趋的顶点
　　while(G中有入度为0的顶点)do{
　　从G中选择一个入度为0的顶点v且输出之；
　　从G中删去v及其所有出边；
　　}
　　if(输出的顶点数目<|V(G)|)
　　//若此条件不成立，则表示所有顶点均已输出，排序成功。
　　Error("G中存在有向环，排序失败！")；
　　}
　　对G9执行上述算法的执行过程【参见动画演示】和得到的拓扑序列是C0，C1，C2，C4，C3，C5，C7，C9，C6。
　　注意：
　　无前趋的顶点优先的拓扑排序算法在具体存储结构下，为便于考察每个顶点的入度，可保存各顶点当前的入度。为避免每次选入度为0的顶点时扫描整个存储空间，可设一个栈或队列暂存所有入度为零的顶点：
　　在开始排序前，扫描对应的存储空间，将入度为零的顶点均入栈(队)。以后每次选入度为零的顶点时，只需做出栈(队)操作即可。
　　拓扑排序是有向图的一个重要操作。在给定的有向图G中，若顶点序列vi1,vi2,...,vin满足下列条件：若在有向图G中从顶点vi到顶点vj有一条路径，则在序列中顶点vi必在顶点vj之前，便称这个序列为一个拓扑序列。求一个有向图拓扑序列的过程称为拓扑排序。
　　Pascal代码：
　　program TopSort;
　　var
　　map,link:array [1..100,1..100] of integer;
　　v,pnt:array [1..100] of integer;
　　i,j,k:integer;
　　n,m:integer;
　　a,b:integer;
　　begin
　　fillchar(map,sizeof(map),0);
　　fillchar(link,sizeof(link),0);
　　fillchar(v,sizeof(v),0);
　　readln(n,m);
　　for i:=1 to m do
　　begin
　　readln(a,b);
　　map[a,b]:=1;
　　v[b]:=v[b]+1;
　　end;
　　i:=0;
　　link:=map;
　　while (i<n) do
　　begin
　　j:=1;
　　while (v[j]<>0) do inc(j);
　　v[j]:=-1;
　　for k:=1 to n do
　　if link[j,k]=1 then begin dec(v[k]);link[j,k]:=0; end;
　　inc(i);
　　pnt[i]:=j;
　　end;
　　for i:=1 to n do
　　writeln(pnt[i]);
　　end.
　　bool TopologicalSort(int a[][101]) //可以完成拓扑排序则返回True
　　{
　　int n = a[0][0], i, j;
　　int into[101], ans[101];
　　memset(into, 0, sizeof(into));
　　memset(ans, 0, sizeof(ans));
　　for (i = 1; i <= n; i++)
　　{
　　for (j = 1; j <= n; j++)
　　{
　　if (a[i][j] > 0)
　　into[j]++;
　　}
　　}
　　into[0] = 1;
　　for (i = 1; i <= n; i++)
　　{
　　j = 0;
　　while (into[j] != 0)
　　{
　　j++;
　　if (j > n)
　　return false;
　　}
　　ans[i] = j;
　　into[j] = -1;
　　for (int k = 1; k <= n; k++)
　　{
　　if (a[j][k] > 0)
　　into[k]--;
　　}
　　}
　　for (i = 1; i <= n; i++)
　　{
　　cout << ans[i] << " ";
　　}
　　cout << endl;
　　return true;
　　}