算法学习笔记（3）——分治法，Fibonacci数列，Strassen算法

• 作者:Rockics(http://blog.csdn.net/Rockics)
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本课的主讲是Erik，讲了算法设计中特别重要的思想之一：分治法。好好体会这一课的精华。由于本人英文水平太差，这一课前前后后加起来的时间差不多一天。最后的VLSI问题还是没有听的太明白？求什么？

分治法将会用到很多的递归技术，分治法的分割基本步骤：

1：分--减小问题规模

2：治--处理问题

3：合并--这一步不是必须的，比如说，二分查找法就没有合并这一步

举例说明：

1.合并排序

2.二分查找

3.数的幂乘

直接的解法就是将X乘上n次，需要Theta(n)。我们可以使用分治的思想，将n个X的乘法分成2个X^(n/2)的子问题，并递归的求出X^(n/2)。

递归式为T(n) = T(n/2) + Theta(1)。用主方法可以解得T(n) = Theta(lgn)。何为主方法？第二讲有讲。必须记忆。

4.Fibonacci数列

最简单的方法就是递归解决，时间复杂度指数级别，BAD。

把式子展开成二叉树，观察不难发现，很多F_i我们重复计算了好些次，如果采用自低向上的方法来计算出每一个F_i，一直到F_n，这可以在线性时间内解决问题。这事典型的空间换时间做法，值得。

或者可以有另一种想法，我们可以利用斐波纳契数的一个性质，公式也不大出来了，和黄金分割点有关那个性质。不过，这玩意，你真得需要好好考虑数值稳定性的问题了。

还有办法可以进一步减小时间复杂度。Theta(lg n)！！！不过这需要了解一些Fibonacci数列的性质，[(Fn+1,Fn),(Fn,Fn-1)]=[(1,1),(1,0)]的n次方。这个式子可以用归纳法证明。前面数的幂乘的方法可以推广到矩阵的幂乘上，每一步的操作仍然是Theta(1)，不再赘述。

5.矩阵乘（28章）

还记得以前学习C语言时候写的完全根据线性代数书上来的方法，还一阵陶醉。这的复杂度，这需要Theta(n^3)的时间。如果我们使用分治法来设计算法，最直观的想法是将矩阵划成块，需要8个矩阵乘和4个矩阵加法，8个矩阵乘用递归来解，时间复杂度Theta(n^3)。呵呵，命运呀。

隆重推出，Strassen算法，书上有详细证明。使用1+1=2做计算时候，从来不想着如何去证明1+1=2，使用这些算法的时候呀，也该不要想那么多，用上就是了。

最后一个分治法的例子，是关于VLSI的，说实话，我还是没有太明白这个例子的背景，虽然明白他的分析，但是：在干吗？了然的同学希望留个言指点一下，谢谢。