[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.16

设 $f(x)$ 于 $[1,\infty)$ 上可导, $f'(x)$ 单调递增, 且 $f(x)\to A$ (当 $x\to\infty$), 证明: $\dps{\vsm{n}f'(n)}$ 收敛.

 

证明: 由 $$\bex f(n+1)-f(n)=f'(\xi_n)\geq f'(n)\quad\sex{n<\xi_n<n+1}, \eex$$ $$\bex \vsm{n}[f(n+1)-f(n)]=A-f(1) \eex$$ 即知结论成立.