[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]5.1.23

序列 $\sed{b_n}\ (n=1,2,\cdots)$ 具有下列性质: $$\bex b_n>0,\quad \vlm{n}b_n=+\infty. \eex$$ 做出序列 $\sed{a_n}$, 使 $$\bex a_n\geq 0,\quad \vsm{n}a_n<\infty,\quad \vsm{n}a_nb_n=+\infty. \eex$$ (国外赛题)

 

解答: $\forall\ k\in\bbN$, 由 $\dps{\vlm{n}b_n=+\infty}$ 知 $\exists\ \sed{n_k}\subset \sed{n},\st b_{n_k}>k$. 取 $$\bex a_n=\sedd{\ba{ll} \frac{1}{k^2},&n=n_k,\\ 0,&n\neq n_k \ea} \eex$$ 即可.