数论 - 整除问题 --- 整数集合中找出3的最大倍数

 

Mean: 

 题目描述：给一个包含非负整数的数组(长度为n)，找出由这些数字组成的最大的3的倍数，没有的话则输出impossible。

analyse:

首先想到的就是直接暴力，这是最蠢的方法，数据一大的话，必会TLE。

直接用蛮力的话，生成所有的组合，为 2^n个，对每个数字再进行比较判断，需要 O(n)的时间，因为n可能会比较大，需要每个位的比较。
总的时间复杂度为O(n * 2^n). 

 

那么到底要怎么做呢？

首先我们来了解几个数学知识：

1)一个数n对m取余的余数为a1，b为n的每一位数字的和，那么有：n%m=b%m=a1。

　　例如，如果对于151和它的各位之和7，对于3的余数都为1。

2)一个数是3的倍数，则该数字各位总和为3的倍数。
　　例如，让我们考虑8760，它是3的倍数，因为数字总和为8 + 7 + 6 + 0 = 21，这是3的倍数。

　　推论：一个数是3的倍数，那么构成他的数字的排列为一个新的数字，这个数字仍然是3的倍数。

 

Time complexity：O(nlongn)

 

Source code：

 暴力代码：

// Memory   Time
// 1347K     0MS
// by : Snarl_jsb
// 2014-09-10-09.28
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define N 100
#define MAXN 100
#define LL long long
using namespace std;

long long n,summ;
long long a[N];
bool cmp(LL a,LL b)
{
    return a>b;
}

LL ans[N];
LL idx;
LL Max;

void work(int* b,int n)
{
	LL sum1=0;
	for(int i=0;i<n;i++)
    {
        sum1+=a[b[i]];
    }
    if(sum1%3==0&&sum1>Max)
    {
        Max=sum1;
        idx=n;
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            ans[i]=a[b[i]];
        }
    }
}

void _gen_comb(int* a,int s,int e,int m,int& cnt,int* temp){
	int i;
	if (!m)
		work(temp,cnt);
	else
		for (i=s;i<=e-m+1;i++){
			temp[cnt++]=a[i];
			_gen_comb(a,i+1,e,m-1,cnt,temp);
			cnt--;
		}
}

void gen_comb(int n,int m)
{
	int a[MAXN],temp[MAXN],cnt=0,i;
	for (i=0;i<n;i++)
		a[i]=i+1;
	_gen_comb(a,0,n-1,m,cnt,temp);
}

int main()
{
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout);
    while(~scanf("%I64d",&n))
    {
        LL sum=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            scanf("%I64d",a+i);
            sum+=a[i];
        }
        summ=sum;
//        cout<<sum<<endl;
        sort(a+1,a+1+n,cmp);
        if(!(sum%3))
        {
            for(int i=1;i<=n;i++)
            {
                printf("%I64d",a[i]);
            }
            puts("");
            continue;
        }
        bool flag=0;
        for(int i=n;i>1;--i)
        {
            sum-=a[n];
            if(!(sum%3))
            {
                for(int j=1;j<i;j++)
                    printf("%I64d",a[j]);
                puts("");
                flag=1;
                break;
            }
        }
        if(flag) continue;
        Max=LONG_LONG_MIN;
        for(int i=n;i>=1;--i)
        {
            gen_comb(n,i);
        }
        if(sizeof(ans)==0)
        {
            puts("impossible\n");
            continue;
        }
        sort(ans,ans+idx,cmp);
        for(int i=0;i<idx;++i)
        {
            printf("%I64d",ans[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}

　　

数学方法：

// Memory   Time
// 1347K     0MS
// by : Snarl_jsb
// 2014-09-10-11.37
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<queue>
#include<stack>
#include<map>
#include<string>
#include<climits>
#include<cmath>
#define N 10000
#define LL long long
using namespace std;

LL n;
LL a[N];
LL ans[N];
LL n1,n2,n3;
LL q1[N],q2[N],q3[N];

bool cmp(LL a,LL b)
{
    return a>b;
}

int main()
{
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cin.cpp","r",stdin);
//    freopen("C:\\Users\\ASUS\\Desktop\\cout.cpp","w",stdout);
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        n1=n2=n3=0;
        LL sum=0;
        for(LL i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
            sum+=a[i];
            if(a[i]%3==0)
            {
                q1[++n1]=a[i];
            }
            else if(a[i]%3==1)
                q2[++n2]=a[i];
            else
                q3[++n3]=a[i];
        }
        if(sum%3==0)
        {
            sort(a+1,a+1+n);
            for(int i=n;i>=1;--i)
            {
                printf("%d",a[i]);
            }
            puts("");
            continue;
        }
        sort(q1+1,q1+1+n1,cmp);
        sort(q2+1,q2+1+n2,cmp);
        sort(q3+1,q3+1+n3,cmp);
        if(sum%3==1)
        {
            if(n2>=1)
            {
                n2--;
            }
            else if(n3>=2)
            {
                n3-=2;
            }
            else
            {
                puts("impossible\n");
                continue;
            }
        }
        else if(sum%3==2)
        {
            if(n1>=2)
            {
                n1-=2;
            }
            else if(n2>=1)
            {
                n2--;
            }
            else
            {
                puts("impossible\n");
                continue;
            }
        }
        LL idx=0;
        for(int i=1;i<=n1;++i)
        {
            ans[++idx]=q1[i];
        }
        for(int i=1;i<=n2;++i)
        {
            ans[++idx]=q2[i];
        }
        for(int i=1;i<=n3;++i)
        {
            ans[++idx]=q3[i];
        }
        sort(ans+1,ans+1+idx,cmp);
        for(int i=1;i<=idx;i++)
        {
            printf("%I64d",ans[i]);
        }
        puts("");
    }
    return 0;
}