【PyTorch入门】（二）自动求导（Autograd）

本系列介绍了入门PyTorch所需要了解的内容。本文主要参考文献：《Deep Learning with PyTorch: A 60 Minute Blitz》（PyTorch深度学习60分钟快速入门），更新于2019.06.12。

PyTorch中所有神经网络的核心是autograd包，这个包提供所有在张量上进行自动求导的操作。这个过程是define-by-run的，也就是反向传播过程由代码运行方式定义，而且每次迭代都可以不同。

Tensor

torch.Tensor是这个包的重要类别。如果将其属性.requires_grad设成True，则会跟踪发生在这个张量上的所有操作。在计算结束后，可以通过调用.backward()进行梯度的自动计算。这个张量的梯度被积累在属性.grad中。

要停止一个张量参与反向传播，可以调用.detach()函数使其脱离反向传播计算过程。

如果要停止反向传播和内存利用，可以将整个代码用代码块torch.no_grad()，这个对于模型的评估格外有用，因为模型中可能存在可训练的参数（requires_grad=True），但是却不希望计算它们的梯度。

对于反向传播很重要的另一个类别时Function。

Tensor和Function之间是相互联系的，并且构建了一个非周期图（acyclic graph），记录了计算的完整历史。每个张量都有个.grad_fn属性来引用创造这个Tensor的Function（除了由用户定义的张量，这些张量的grad_fn是·None`）。

可以通过调用Tensor上的.backward()实现求导。但是如果这个张量是标量（只有一个元素数据），不需要对backward()单独定义任何变量；但是元素很多的时候，需要制定gradient变量来保证张量的维度保持不变。

import torch

创建一个张量并设定requires_grad=True来跟踪实施在上面的计算：

x = torch.ones(2,2,requires_grad=True)
print(x)

进行一个张量操作：

y = x + 2
print(y)

y是通过某个操作定义的变量，因此具有grad_fn：

print(y.grad_fn)

进一步对y进行操作：

z = y * y * 3
out = z.mean()

print(z.out)

requires_grad_( ... )可以in-place地改变已有张量的requires_grad标志。如果未指定，输入标志默认为False。

a = torch.randn(2,2)
a = ((a* 3) / (a-1))
print(a.requires_grad)
a.requires_grad_(True)
print(a.requires_grad)
b = (a * a).sum()
print(b.grad_fn)

Gradients

现在开始反向传播。由于out包括的是一个标量，out.backward()等同于out.backward(torch.tensor(1.))。

out.backward()

显示导数d(out)/dx：

print(x.grad)

这里应该得到4.5组成的矩阵。称out张量为o，可以得到
$o=\frac{1}{4}{\sum }_i{z}_i,z_i=3(x_i+2{)}^2$且$z_i{|}_{x_i=1}=27$。

因此，$\frac{\partial o}{\partial x_i}=\frac{3}{2}(x_i+2)$，因此$\frac{\partial o}{\partial x_i}{|}_{x_i=1}=\frac{9}{2}=4.5$。

数学上，如果有一个值为向量的函数$y=f(x)$，$y$对$x$的梯度是一个雅可比矩阵（Jacobian matrix）【在向量微积分中，雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。】：

$$J=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_1}{\partial x_n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_m}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right\}$$

整体而言，torch.autograd是一个用于计算向量-雅克比乘积的机器（an engine for computing vector-Jacobian product）。即给定任意向量$v=(v_1,v_2,\cdots ,v_m{)}^T$，计算乘积$v^T\cdot J$。如果$v$恰好是一个标量函数$l=g(y)$的梯度，即$v=\left(\frac{\partial l}{\partial y_1}\cdots \frac{\partial l}{\partial y_m}\right)$，那么根据chain rule，vector-Jacobian乘积应该是$l$相对于$x$的梯度：
$$J^T\cdot v=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial y_1}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_1}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial y_1}{\partial x_n}& \cdots & \frac{\partial y_m}{\partial x_n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\frac{\partial l}{\partial y_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial l}{\partial y_m}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial l}{\partial x_1}\\ ⋮\\ \frac{\partial l}{\partial x_n}\end{array}\right)$$

注意，$v^T\cdot J$是行向量，通过$J^T\cdot v$可以转换成列向量。

这个vector-Jacobian乘积使得将外部梯度送入一个没有标量输出的模型变得非常容易。

现在来具体看一个例子;

x = torch.randn(3,requires_grad=True)
y = x* 2
while y.data.norm() < 1000:
	y = y * 2

print(y)

终端结果：

此时，y已经不是一个标量了，torch.autograd没有办法直接计算完整的Jacobian，但是我们其实只需要vector-Jacobian乘积，那么简单地将向量以变量的形式反向传播就可以：

v = torch.tensor(p0.1, 1.0, 0.0001], dtype=torch.float)
y.backward(v)

print(x.grad)

终端结果：

也可以通过将代码块融入with torch.no_grad():中实现.requires_grad=True下的反向梯度传播：

print(x.requires_grad)
print((x ** 2).requires_grad)

with torch.no_grad():
	print((x ** 2).requires_grad)

终端结果：

代码总运行时间3.013秒。

辅助阅读材料：【文档学习】Pytorch——torch.autorgrad包

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