O(N)求出1~n逆元

这是一个黑科技。
可以将某些题目硬生生地压到O(N)
不过这求的是1~n的逆元，多了不行……

结论

接下来放式子：

inv[i]=(M-M/i)*inv[M%i]%M;

用数学方法来表示：
$$i^{-1}=\left(M-\lfloor \frac{M}{i}\rfloor \right){\left(M\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i\right)}^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$$

证明

设$k=\lfloor \frac{M}{i}\rfloor$，$r=M\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i$
$$\begin{gathered} \therefore ik+r\equiv 0\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M\right) \\ \therefore -ik\equiv r\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M\right) \end{gathered}$$
两边同时除以$ir$得
$$\begin{gathered} -k\ast r^{-1}\equiv i^{i-1}\left(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M\right) \\ \therefore i^{i-1}=-k\ast r^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M \end{gathered}$$
即
$$i^{-1}=\left(M-\lfloor \frac{M}{i}\rfloor \right){\left(M\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}i\right)}^{-1}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}M$$