斐波那契数列求解O(logn)

预备

矩阵幂运算
比如计算矩阵a的4次方，是通过$b=a\ast a，c=b\ast b$ 得到的答案c,计算了n/2次。
https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/

$$\begin{array}{rl}f[n]& =f[n-1]+f[n-2]\\ & =f[n-2]+f[n-3]+f[n-3]+f[n-4]\\ & =f[n-3]+f[n-4]+f[n-4]+f[n-5]+f[n-5]+f[n-6]+f[n-6]+f[n-7]\\ & =...\\ & =a\ast f[0]+b\ast f[1]\end{array}$$
进而转化为求a,b的值
反推可得：
$$\begin{gathered} f[1]=f[1]+0....=1\ast f[1]+0\ast f[0] \\ f[2]=f[1]+f[0]=1\ast f[1]+1\ast f[0] \\ f[3]=f[2]+f[1]=2\ast f[1]+1\ast f[0] \\ f[4]=f[3]+f[2]=3\ast f[1]+2\ast f[0] \\ f[5]=f[4]+f[3]=5\ast f[1]+3\ast f[0] \\ f[n]=f[n-1]+f[n-2]=a\ast f[0]+b\ast f[1] \end{gathered}$$
观察可得，系数a,b也是累加得出的。
$\left[\begin{array}{cc}f[0]& f[1]\end{array}\right]$ * ${\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]}^{n-1}$ = $\left[\begin{array}{cc}f[n-1]& f[n]\end{array}\right]$

class Solution {
public:
    int matrix(int n){
        int a[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int b[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int c[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int d[2][2] = {{0,1},{1,1}};
        int flag = 0;
        if(n % 2)
            flag = 1;
        n /= 2;
        while(n > 1){
            c[0][0] = b[0][0]*a[0][0]+b[0][1]*a[1][0];
            c[0][1] = b[0][0]*a[0][1]+b[0][1]*a[1][1];
            
            c[1][0] = b[1][0]*a[0][0]+b[1][1]*a[1][0];
            c[1][1] = b[1][0]*a[0][1]+b[1][1]*a[1][1];
            for(int i = 0;i < 2;i++)
                for(int j = 0;j < 2;j++)
                    b[i][j] = c[i][j];
            n--;               
        }        
        d[0][0] = c[0][0]*c[0][0]+c[0][1]*c[1][0];
        d[0][1] = c[0][0]*c[0][1]+c[0][1]*c[1][1];

        d[1][0] = c[1][0]*c[0][0]+c[1][1]*c[1][0];
        d[1][1] = c[1][0]*c[0][1]+c[1][1]*c[1][1];
        if(flag == 0){            
            return d[1][0] + d[1][1] * 2;
        }
        else{
            c[1][0] = d[1][0]*a[0][0]+d[1][1]*a[1][0];
            c[1][1] = d[1][0]*a[0][1]+d[1][1]*a[1][1];
            return c[1][0] + c[1][1] * 2;
        }
    }
    int climbStairs(int n) {
        if(n == 1 || n == 2 || n == 3)
            return n;
        n -= 2;
        return matrix(n);
    }
};