经典背包问题----（01背包、完全背包、多重背包）
最近在学DP,上周六ACM集训队花一整天的时间共同探讨了最经典的DP--背包问题，对这类问题研究也挺深入的,感谢各队友及老师的讲解，觉得受益匪浅！
（1）01背包
01背包算是最基础的背包问题了，意思就是共有N个物品,一个背包。各物品的重量为Wi,价值为Vi，背包能承受的最大重量为W，求背包能装进去物品的最大价值！分析：其一是变量元素，可知与该结果有关系的就是重量和价值，其次是状态转移。那么显然子问题就是当前的背包重量能装的最大价值，用数组F[i][j]表示的话，背包的剩余重量为j,i为当前物品，F[i][j]保存的就是背包在j容量下装的最大价值，即把1,2,3...i-1个物品装到容量为j的背包中的最大价值。对于第i个物品，有两种选择，放或者不放，当j
int DP1()
{
for(int j=W;j<=0;j++)
{
if(j
else
f[N][j]=v[i];
}
for(int i=N-1;i>=1;i--)
for(int j=0;j<=W;j++)
{
if(j
else
f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j-w[i]]+v[i]);
}
return f[1][W];
}
优化：由于F[i][j]是从前一个状态F[i-1][j]得到的，只与前一个状态有关，那么即可优化为一维滚动数组F[]，需注意F必须是从右往左计算，因为F[j]保存的是f[i-1][j]的值，F[j-Wi]保存的是f[i-1][j-Wi]的值,而不是f[i][j-Wi],这样，F[j]保存的就是max(f[i-1][j],f[i-1][j-Wi])覆盖原来的f[i-1][j]//注意：便于叙述，这里F[]表示优化的滚动数组,f[][]是原来的二维数组。代码如下：
int DP1()
{
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=W;j>=w[i];j--)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]+v[i])
return f[W];
}
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（2）完全背包
完全背包是在01背包的基础上，物品为的数量由一个变为无限个，求满足重量的条件下最大价值。由上述的01背包，很容易就能想到通过枚举每种物品的数量来求最大值，那么需要再加一层循环来限定第i件物品的数量，此时公式为：F[i][j]=MAX(F[i-1][j],F[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])1<=k<=W/Wi不过很遗憾，这种算法的复杂度非常高，再仔细考虑一下，会发现若两件物品i、j满足v[i]>=v[j]且w[i]<=w[j]，则将物品j去掉，不用考虑。即，如果一个物品A是占的地少且价值高，而物品B是占地多，但是价值不怎么高，那么肯定是优先考虑A物品的。那么公式即为：F[i][j]=MAX(F[i-1][j],F[i][j-w[i]]+v[i],代码如下：
for(int i=1;i<=N;i++)
for(int j=0;j<=W;j++)
{
if(j
else
f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-w[i]]+v[i];
}
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（3）多重背包
多重背包是每件物品都有给定的数量，如果按照安全背包的思想，每件物品的数量为num[i],即1<=k<=num[i],若按三层循环来写，复杂度也挺高！那么有一个非常奇妙的二进制思想，任何数都可以用二进制来表示，如果一个数N能用1,2,4,8,16....的和来表示的话，那么从1到N之间的任意数字都可以用这些数来表示，比如第i种物品的数量为7，重量为2，价值为3,分析：7可分为1,2,4即该种物品被分成重量为2*1,2*2,2*4价值为3*1,3*2,3*4的三种物品，那么就大大减少了物品的数量，推测以一亿个物品按这种方式最多分为30多个物品，这样就能用01背包的知识来解决这个问题，代码如下：
struct ss
{
int x;//物品重量
int y;//物品价值
int z;//物品数量
}s[1000]；//假设1000种物品
int DP1()
{
int t=-1;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
t++;
int sum=1;
int sum1=1;
w[t]=s[i].x;
v[t]=s[i].y;
while(sum1
sum*=2;
sum1+=sum;
if(sum1
w[t]=sum*s[i].x;
v[t]=sum*s[i].y;
}
}
if(sum1!=s[i].z)
{
t++;
w[t]=(s[i].z-(sum1-sum))*s[i].x;
v[t]=(s[i].z-(sum1-sum))*s[i].y;
}
}
memset(f,0,sizeof(f));
for(int i=0;i<=t;i++)
for(int j=W;j>=w[i],j--)
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]+v[i]);
return f[W];
}