匈牙利算法—介绍与基本用途

匈牙利算法应用于二分图（即可以分为两大部分，且个部分内不连接的图）匹配的问题，它的时间复杂度为O（nm）。它的基本原理是增广路。

它的用途主要有三：1、单纯二分图匹配；2、最小点覆盖；3、最大独立集。下面，我将一一介绍。

一、单纯二分图匹配

例题1：

有n只公牛和m只母牛，然后每只公牛都可以和几只的母牛配对。在每只公牛只能配对一只母牛的情况下，求能为牛们配对最多多少对？

思路：公牛是二分图的一个集合，母牛也是。接着公牛逐一询问母牛，会出现两种情况。1、如果母牛未被匹配，公牛匹配它；2、如果母牛已被匹配，询问母牛的原配公牛能否换另一头母牛匹配。若行，则该公牛可以获得此母牛；反之，该公牛无法得到该母牛。如果该失配公牛问遍了所有母牛，仍然不能找到合适的配偶，则该公牛匹配失败（ans不能+1）。

代码：

#include
#include
using namespace std;

int n,m,ans;
int match[210];//母牛i的配偶是公牛match[i]
bool chw[210];//在此趟询问中，母牛i是否被询问过
bool mp[210][210];//公牛i与母牛j是否有关系

bool find_ans(int x)
{
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(mp[x][i]==true&&chw[i]==true)
		{
			chw[i]=false;
			if(match[i]==0||find_ans(match[i])==true)
			//母牛没有配偶||匹配该母牛的公牛能否换一头母牛匹配 
			{
				match[i]=x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}

int main()
{
	while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
	{
		memset(mp,false,sizeof(mp));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			int k,x;
			scanf("%d",&k);
			for(int j=1;j<=k;j++)
			{
				scanf("%d",&x);
				mp[i][x]=true;
			}
		}
		ans=0;
		memset(match,0,sizeof(match));
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			memset(chw,true,sizeof(chw));
			if(find_ans(i)==true) ans++;
		}
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}

解题关键：构造二分匹配图，找到可连接的线的条件（mp[ ][ ]==true?）。

二、最小点覆盖

一般考场上的题目极少是纯匈牙利算法，多数会盖上“最小的覆盖”的薄纱。

对于求最小点覆盖的题，我们要运用结论：二分图中 最小点覆盖数 = 最大匹配数 ，因此求最小点覆盖的覆盖的题转化为了求最大匹配数的题。

例题2：（poj 1325）

有两部机器A和B。A机器有n种工作模式0，1，2，3…… n-1 总共n种；B机器有m中工作模式0，1，2，3…… m-1 总共m种。有k个任务，每个任务可以在A机器的某个模式或者B机器的某个模式中完成。A和B机器开始时都默认在0模式，要选择其他模式就要重启一次。求完成k个任务至少需要重启多少次机器。

思路：构图：X集合表示A机器的模式编号，Y集合表示B机器的模式编号，如果两个模式能完成的任务相同，则给它们连边，也就是说，任务用边来表示。

例题3：（poj 3692）

G个女孩，B个男孩，女孩之间相互认识，男孩之间相互认识，某些男孩同女孩之间相互认识，求最大的相互认识的集合的人数。

思路：该题棘手于“女孩之间相互认识，男孩之间相互认识”，因为如果就此构图，会出现G集合和B集合内相互连边，不符合二分图的定义，因此，我们得另辟新路来构图。构图：把没有关系的两点连接，反向建图（即建补图）。

代码：

#include
#include
using namespace std;

int g,b,m,ans;
int match[210];
bool mp[210][210];//mp[i][j]==true时，表示i女生与j男生互不认识
bool chw[210];

bool find_ans(int x)
{
	for(int i=1;i<=b;i++)
		if(mp[x][i]==true&&chw[i]==true)
		{
			chw[i]=false;
			if(match[i]==0||find_ans(match[i])==true)
			{
				match[i]=x;
				return true;
			}
		}
	return false;
}

int main()
{
	int Case=0;
	while(scanf("%d%d%d",&g,&b,&m)&&g!=0&&b!=0&&m!=0)
	{
		Case++;
		memset(mp,true,sizeof(mp));//互不认识 
		for(int i=1;i<=m;i++)
		{
			int x,y;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			mp[x][y]=false;//他俩认识 
		}
		
		ans=0;
		memset(match,0,sizeof(match));
		for(int i=1;i<=g;i++)
		{
			memset(chw,true,sizeof(chw));
			if(find_ans(i)==true) ans++;//统计不认识的人数 
		}
		printf("Case %d: %d\n",Case,g+b-ans);//输出 总人数-不认识人数 
	}
	return 0;
}

三、最大独立集

有关最大独立集的题，我们如果利用结论：最大独立集 点数= 总点数 - 最小点覆盖 = 总点数 - 最大匹配数  ，就可以用匈牙利算法轻松求解。若要求独立集的数量，可以通过强联通来求。

如 例题3，它在求“最大的相互认识的集合的人数”其实本质就是求最大独立集点数，所以它的答案（最大独立集点数）= 总人数（总点数）- 不认识人数（最大匹配数）。

例题4：（poj 1466）

一些女生与男生有浪漫关系，求一个集合中的最大人数，满足这个集合中两两的人不能配对。其中男生与男生间和女神与女生间本就有有浪漫关系。

思路：构图：把X集合的人复制到Y集合，如果两个人有浪漫关系，则给他们连边，最后通过 最大独立集点数=总点数-最大匹配数 得到答案，但需注意，此图中的点相当于两个X集合，所以得到的最大匹配数要除以2。

文章最后，介绍关于匈牙利算法的一种简单的优化方法：建邻接表。以节省不必要的重复判断，这样可以大大减少时间，但空间可能会有改变，码量要大些。