BZOJ 4868: [Shoi2017]期末考试 (三分法)

Description

有n位同学，每位同学都参加了全部的m门课程的期末考试，都在焦急的等待成绩的公布。第i位同学希望在第ti天或之前得知所.有.课程的成绩。如果在第ti天，有至少一门课程的成绩没有公布，他就会等待最后公布成绩的课程公布成绩，每等待一天就会产生C不愉快度。对于第i门课程，按照原本的计划，会在第bi天公布成绩。有如下两种操作可以调整公布成绩的时间：

1.将负责课程X的部分老师调整到课程Y，调整之后公布课程X成绩的时间推迟一天，公布课程Y成绩的时间提前一天；每次操作产生A不愉快度。
2.增加一部分老师负责学科Z，这将导致学科Z的出成绩时间提前一天；每次操作产生B不愉快度。

上面两种操作中的参数X,Y,Z均可任意指定，每种操作均可以执行多次，每次执行时都可以重新指定参数。现在希望你通过合理的操作，使得最后总的不愉快度之和最小，输出最小的不愉快度之和即可

Input

第一行三个非负整数A,B,C，描述三种不愉快度，详见【问题描述】；
第二行两个正整数n,m(1≤n,m≤105)，分别表示学生的数量和课程的数量；
第三行n个正整数ti，表示每个学生希望的公布成绩的时间；
第四行m个正整数bi，表示按照原本的计划，每门课程公布成绩的时间。
1<=N,M,Ti,Bi<=100000,0<=A,B,C<=100000

Output

输出一行一个整数，表示最小的不愉快度之和。

Sample Input

100 100 2
4 5
5 1 2 3
1 1 2 3 3

Sample Output

6

由于调整操作产生的不愉快度太大，所以在本例中最好的方案是不进行调整; 全部5 的门课程中，最慢的在第 3 天出成绩;
同学 1 希望在第 5 天或之前出成绩，所以不会产生不愉快度;
同学 2 希望在第 1 天或之前出成绩，产生的不愉快度为 (3 - 1) * 2 = 4;
同学 3 希望在第 2 天或之前出成绩，产生的不愉快度为 (3 - 2) * 2 = 2;
同学 4 希望在第 3 天或之前出成绩，所以不会产生不愉快度;

Source

黑吉辽沪冀晋六省联考

题解

签到题，然而我爆炸了。本蒟蒻心想既然是省选，应该不太可能有枚举、贪心之类的吧，于是我看到题目，首先就想dp，搞不出来，就想网络流。我甚至都去想图论MST了。。我真是太naive了。最后搞不出来，本蒟蒻随便水水分就弃了。

居然没想到可以用三分！！(其实貌似直接单调做也可以，但本蒟蒻只会三分)

现在我们感性认识一下为甚么可以三分。三分出成绩时间，假设当前出成绩最优，那么提前就会调增老师，增加不愉快度多于少等待的；如果延迟时间，那么等待更久，增加的不愉快度也将多余少调增剩省下的。
于是：对于当前点，两边都是有单调性的，就是说不愉快度随出成绩时间呈单峰函数(这里开口向上)，这是三分的基础。

然后直接三分，暴力O(n)地算出代价，更新最小值就行了。看来第一题往往不会太难，不要胡思乱想，更绝对不能弃啊！
有一些细节参见代码。

Code

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#define N 100010

using namespace std;

typedef long long LL;
LL A, B, C, L, R, t[N], b[N];
int n, m;

LL Judge(LL x){
    LL cost = 0;
    if(A < B){//贪心的思想
      LL rest = 0, need = 0;
      for(int i = 1; i <= m; i++)  if(b[i] < x)  rest += x - b[i];
      for(int i = 1; i <= m; i++)  if(b[i] > x)  need += b[i] - x;
      if(rest >= need)  cost += need * A;
      else cost += rest * A + (need - rest) * B; 
    }
    else  for(int i = 1; i <= m; i++)  if(b[i] > x)  cost += (b[i] - x) * B;
    for(int i = 1; i <= n; i++)  if(t[i] < x)  cost += (x - t[i]) * C;
    return cost;
}

int main(){
    freopen("exam.in", "r", stdin);
    freopen("exam.out", "w", stdout);

    scanf("%I64d%I64d%I64d", &A, &B, &C);//视情况选择%lld还是%I64d

    scanf("%d%d", &n, &m);

    for(int i = 1; i <= n; i++)  scanf("%I64d", &t[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++)  scanf("%I64d", &b[i]);

    if(C == 1e16){//注意这里一定要特判，当C=1e16时，一定会炸，long long都会炸
      LL _min = 1e18;
      for(int i = 1; i <= n; i++)  _min = min(_min, t[i]);
      printf("%I64d\n", Judge(_min));//直接不理会等待
      return 0;
    }

    L = 1, R = 1e5;
    while(L + 2 < R){//三分
      LL mid1 = (2 * L + R) / 3, mid2 = (2 * R + L) / 3;
      LL val1 = Judge(mid1), val2 = Judge(mid2);
      if(val1 == val2)  L = mid1,  R = mid2; 
      else if(val1 < val2)  R = mid2;
      else  L = mid1;
    }

    LL val1 = Judge(L), val2 = Judge(R), val3 = Judge((2*L+R)/3), val4 = Judge((2*R+L)/3);//最后算答案
    printf("%I64d\n", min(min(val1, val2), min(val3, val4)));

    return 0;
}

我会化作人间的风雨陪在你身边。——《大鱼海棠》