【算法设计与分析】08 序列求和的方法

本篇文章学习数列求和的一些方法。这些方法对后面学习算法的时间复杂度非常有帮助。

1. 数列求和公式

下面这几个数列求和公式都是高中学过的公式。

• 等差、等比数列和调和级数

下面给出一个求和的例子，使用了一些高中都会的变换的技巧：

学习上面的公式，主要是为了解决算法的时间复杂度，下面以二分搜索的时间复杂度为例，讲解如何利用上面的公式求解出，时间二分搜索的时间复杂度（关于时间复杂度的概念，可以参看以前的文章：【算法设计与分析】03 算法及其时间复杂度）。

1.1 二分搜索的时间复杂度求解

• 假设二分数组为T[n]，要搜索的数为：x。如下图是一个简单数组的搜索过程。

上述的二分搜索最终并没有找到要搜索的元素的位置。所以二分搜索的数据的输入情况，可以分为两种，一种是想要搜索的数x在数组中，一种是想要搜索的x不在数组中，那么一共就有2n+1中情况发生。如下图：

• 左边是x在数组中，可以在任何一个位置出现，有n种情况。
• 右边是x不在数组中，那么x出现在数组的两边或者在数组中两个元素的中间，就有n+1种情况
• 所以一共有2n+1种输入情况。
  

注意：上述，假设n=2^k-1,只是为了方便后面的计算。

现在已经知道了总的输入，还需要知道总的输入对应的比较的次数，才能计算出时间复杂度。
由分析可以看出，比较t次的输入的个数为：

所以：

• 对于t= 1，2…k-1，比较t次的输入有 ：2^t-1 个 (这个对应的是x在数组中的情况)
• 对于x不在数组中的情况，需要比较的次数是k，那么比较k次的输入就是：2^k-1+n+1个。（式子中的n+1是对应的不在数组中非空隙的个数，2^k-1 对应的是x在数组中的情况，因为就算要找的数不在数组中，也要将数组比较完全一遍才能够知道）

那么总次数就等于：对每个输入乘以这个输入对应的次数并求和

假设n=2^k-1 ，各种输入的概率相等，则二分搜索平均时间复杂度为A（n）：

上述的计算过程用到了一开始学习的几个公式以及变换技巧，自己慢慢掌握。

上述的计算结果大家都不陌生了，正式二分搜索的平均时间复杂度：logn

2 估计和式上届的放大法

放大法在高中大家学的都很熟练应该。

• 放大法：

• 放大法的例子

3 估计和式渐近的界

以下方法用到了基本微积分的概念。

求上届

求下届

上面的上届和下届都是同一个级别的，所以：

4 总结

本文学习了序列求和的基本公式：

• 等差数列
• 等比数列
• 调和级数

对于无法计算的序列和，可以采用放大法求上届，用积分做和式渐近的界

这些基本的计算方法对计数循环过程的基本运算次数很有帮助。也就是算法的时间复杂度了。