【算法设计与分析】06 几类重要的函数

本篇文章中会用到上一篇文章的定理：【算法设计与分析】05 有关函数的渐进的界的定理

主要学习常见的一些函数的阶

1. 基本函数类

以下按阶的高低排序：

• 至少指数级： 2ⁿ, 3ⁿ, n!, …
• 多项式级： n, n², nlogn, n^1/2, …
• 对数多项式级： logn, log²n, loglogn, …

1.1 对数函数

算法中常用的符号：

性质：

下面对上面的性质进行证明：

• 性质（1）证明

根据上一篇文章的内容，根据定理：log_kn = $\Theta$ ( log_l n)

• 性质（2）（3）的证明

1.2 指数函数与阶乘

1.21 Stirling公式

利用这个公式可以求解出投资问题的搜索空间的大小（见前面的文章：【算法设计与分析】01 算法涉及的研究内容概述）

如下：

1.22 log(n!) = $\Theta$ (nlogn)的证明

• log(n!) = Ω (nlogn)的证明
  

• log(n!) = O(nlogn)的证明

1.3 取整函数

• 下面是取整函数的一些性质，证明过程略

2 一些函数的阶的排序

• 对下面的各个函数进行阶从大到小的顺序重新排序：
  

• 排序后

3 总结

本节简单的学习了几类常用函数的阶的性质，包括对数函数、指数函数、阶乘函数、取整函数