[递归] 0 递归-分治法-递推-递归树

1. 递归与分治法的区别

1.1 递归

从上往下的分析，然后回溯：从n的情况一直往下走->走到1（特殊情况）->然后往回计算->最终得到n的情况

必须满足：

1. 在每一次调用自己时，必须是在某种意义上更接近于解（每次操作是收敛的）：问题规模越来越小
2. 必须有一次终止处理或计算的准则：必须要有一个出口

1.2 分治法

利用分治法求解，所得子问题的类型常常和原问题相同，因而很自然地使用递归求解

1.2.1 思路

1. 输入【规模为n】的函数或问题
2. 用某种方法把输入【分割成k(1
3. 再用某种方法把它们【组合成原来问题的解】

1.3 区别

1. 递归：是一种算法结构
2. 分割求解：是一种算法设计思想

2 递归

2.1 什么情况下用

1. 用分割求解设计算法时，子问题和原问题的性质相同
2. 问题的当前一步解决之后，余下的问题和原问题性质相同，则自然导致递归求解

2.2 怎么写

1. 把大问题，分成几个小问题
2. 找到一个特殊情况，那个特殊情况的解是确定的->这个特殊情况就是【基本项】
3. 思考每次相同的参数有哪些，将它们写成函数参数->整理出统一形式，即【归纳项】

从上面可以知道，我们需要确定两个东西：

1. 基本项：描述一个或几个递归过程的终结状态
   【终结状态】出口，特殊情况
2. 归纳项：实现从当前状态到终结状态的转化
   参数对好了：原问题的参数、子问题的参数要对好

2.3 特点

1. 可读性好，但也不要单纯追求形式
2. 递归<->利用栈实现的非递归函数（两者可以相互实现）
3. 递归函数递归层次的深度决定【所需存储量的大小】

2.4 例题

1. 排列组合
   • 组合1
   • 组合2
   • 排列
2. 按顺序入栈的所有可能

3 递归树

分析递归算的工具【递归树】，通过递归树我们可以很清楚的分析递归

例如：

1. 递归树的【深度】=递归函数的【递归深度】，而递归深度决定【存储量的大小】
2. 递归树上的【结点数目】=函数中的主要【操作重复进行的次数】

3.1 举例

汉诺塔问题

// 将n个盘子从x借助y移动到z
// 例如：move(3,'A','B','Z') 将3个盘子从'A'借助'B'移动到'Z'
void move(int n,char x,char y,char z) {
	if (1==n) //只剩下一个盘子
		printf("%c-->%c",x,z); //直接从x->z
	else {
		move(n-1,x,z,y);	//将n-1个盘子从x借助z移动到y
		printf("%c-->%c",x,z);
		move(n-1,y,x,z); //将n-1个盘子从y借助x移动到z
	}
}

通过【递归树】很容易发现：

1. 结点数=移动个数
2. 中序序列=圆盘移动操作的序列
3. 性能：
   • 设执行时间为T(n)
   • 递归方程为T(n)=2T(n-1)+C
   • 初始条件为T(0)=0

3.2 递归怎么分析好不好

以下情况表明【递归函数不适用】该问题

3.2.1 递归树锐化为单支树

【问题】求解：n!

【n!的递归树】

【分析】

1. 直线返回
2. 递归深度很深，占的存储空间很大

3.2.2 递归树中含有很多相同的结点

【问题】斐波那契数列
F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=2,F[0]=0,F[1]=1)

【递归树】

【分析】

1. 相同结点很多，不适合用递归
2. 这个用递推，从下往上，会容易点

4 递归与递推

1. 递归：从上往下，走到最下，再回溯回去，在回溯的过程中计算
2. 递推：从下而上，在最下面，计算出最简单的，往上走

【举例】斐波那契数列
F[n]=F[n-1]+F[n-2](n>=2,F[0]=0,F[1]=1)

【计算顺序】

F[0]=0,F[1]=1 -> F[2]=F[0]+F[1] -> F[3] -> F[4] -> …

从特殊情况（下）往上递推，每计算一个，就把结果存下来，再往上走

5 递归应用

5.1 斐波那契数列

又名： 兔子数列 黄金分割数列

1. 递推公式

F(0)=1
F(1)=1
F(n)=F(n-1)+F(n-2)

2. 通项公式
   

当n趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618

5.2 杨辉三角

它把二次项系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来。

5.2.1 性质

前提：每行端点与结尾的数为1

基础性质：

1. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大
2. 第n行的数字有n项
3. 第n行数字和为2^(n-1)
4. 第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)
5. 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即组合数性质之一
6. C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)：每个数等于它上方两数之和

不常用的性质：
5. (a+b)^n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项
6. 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数

5.3 汉诺塔

又名，河内塔

有三根相邻的柱子，标号为A,B,C
A柱子上从下到上按金字塔状叠放着n个不同大小的圆盘
要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子上方
请问至少需要多少次移动，设移动次数为H(n)

5.4 八皇后问题

8x8格国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行，同一列，同一斜线上，有多少种摆法