CLRS 4.4用递归树方法求解递归式

4.4-1
递归树如下：

假设 n 是 2 的幂，子问题的规模每一步减少 1/2 ，最终达到边界条件，深度为 i 的结点对应规模为 n2i ，当 n2i=1 时即 i=lgn 时子问题规模为 1，因此树的层数为 lgn+1 。对于每一层的代价，每层都是上一层的 3 倍，因此深度为 i 的结点数 3i 。此层每个结点的代价 n2i ，因此第 i 层结点总代价 n⋅(32)i ，树的最底层有 3lgn=nlg3 ，每个结点代价 T(1) ，所以有：

T(n)=∑i=0lgn−1(32)in+Θ(nlg3)=n(3/2)lgn−1(3/2)−1+Θ(nlg3)=nΘ(nlg3−1)+Θ(nlg3)=Θ(nlg3)

下面用代入法验证：猜测 T(n)≤cnlg3−dn ：

T(n)≤3c(n2)lg3−32dn+n=cnlg3−dn−(12d−1)n≤cnlg3−dn(c≥0,d≥12)

4.4-2
以下几个题目和 4.4-1 类似分析，在此不画出递归树。
假设 n 是 2 的幂，子问题的规模每一步减少 1/2 ，最终达到边界条件，深度为 i 的结点对应规模为 n2i ，当 n2i=1 时即 i=lgn 时子问题规模为 1，因此树的层数为 lgn+1 。对于每一层的代价，每层结点数都上一层一样，因此深度为 i 的结点数 1。此层结点的代价 (n2i)2 ，因此第 i 层结点总代价 (n2i)2 ，树的最底层有 1 个结点，结点代价 T(1) ，所以有：

T(n)=∑i=0lgn−1(14)in2+1<n2∑i=0∞(14)i+1=n211−1/4+1=Θ(n2)

猜测 T(n)≤cn2

T(n)≤c(n2)2+n2=cn2−(34c−1)n2≤cn2(c≥43)

4.4-3
由于以下题目类似上面两题，因此以下题目直接给出层数以及每层代价。
树的深度为 lgn ，每层的代价和为 2in+21−i 。最底层为 4lgn=n2 ，因此有：

T(n)=∑i=0lgn−1(2in+21−i)+Θ(n2)=∑i=0lgn−12in+∑i=0lgn−121−i+Θ(n2)=2lgn−12−1+2∑i=0lgn−1(12)i+Θ(n2)≤n−1+2∑i=0∞(12)i+Θ(n2)=n−1+211−1/2+Θ(n2)=Θ(n2)+n+3=Θ(n2)

用代入法验证，猜测 T(n)≤cn2+2n :

T(n)≤4c(n/2)2+2n/2+n≤cn2+2n=Θ(n2)

4.4-4
树深 n ，每层 1 个结点，代价为 1。

T(n)=T(n−1)+1=T(n−2)+2=⋯=n

4.4-5
第一层 n ，第二层 (3/2)n−1 ，第三层 (9/4)n−3−1/2 ，最长的路径 n 层，由于该递归树不是满的，所以有：

T(n)≤∑i=0n(32)in=(3/2)n+1−13/2−1n≤2n(32)n+1=O(n(32)n)

用代入法验证，猜测 T(n)≤cn(3/2)n ，代入递推式可得

T(n)≤c(n−1)(32)n−1+c(n2)(32)n/2+n=cn(32)n−12cn(32)n−1−c(32)n−1+12cn(32)n/2+n=cn(32)n−12cn(32)n/2((32)n/2−1−1)−(c(32)n−1−n)≤cn(32)n(c≥1,n≥2)

4.4-6
最短路径有 log3n 层。每层代价为 cn 。所以有：

T(n)≥∑i=0log3ncn=cnlog3n=Ω(nlgn)

4.4-7
递归树如图：

假设 n 是 2 的幂次方，树的高度 lgn+1 ，每层代价 2icn ，一个 4lgn=n2 个叶子结点。因此有：

T(n)=∑i=0lgn−12icn+Θ(n2)=cn∑i=0lgn−12i+Θ(n2)=cn2lgn−12−1+Θ(n2)=Θ(n2)

代入法验证类似 4.4-1。在此略

4.4-8
树高 n/a ，每层代价 c(n−ia) 。因此有：

T(n)=∑i=0n/ac(n−ia)+(n/a)ca=∑i=0n/acn−∑i=0n/acia+(n/a)ca=cn2/a−Θ(n)+Θ(n)=Θ(n2)

4.4-9
此题的递归式类似于 4.4-6。不失一般性，设 α≥1−α 即 1/2≤α≤1 。
递归树有满的 log1/(1−α)n 层，每层贡献 cn ，所以猜测 Ω(nlog1/(1−α)n)=Ω(nlgn) ，有 log1/(α)n 层，每层贡献小于等于 cn ，所以猜测 O(nlog1/(α)n)=O(nlgn) 。
猜测 T(n)=Θ(nlgn) ，用代入法验证。
证明上界， T(n)≤dnlgn 。

T(n)=T(αn)+T((1−α)n)+cn≤dαnlg(αn)+d(1−α)nlg((1−α)n)+cn=dαnlgα+dαnlgn+d(1−α)nlg(1−α)+d(1−α)nlgn+cn=dnlgn+dn(αlgα+(1−α)lg(1−α))+cn≤dnlgn

当 dn(αlgα+(1−α)lg(1−α))+cn≤0 时成立，此等式等同于 d(αlgα+(1−α)lg(1−α))≤−c ，由于 1/2≤α≤1 ，所以 lgα<0,lg(1−α)<0 ，因此 αlgα+(1−α)lg(1−α)<0 。得到：

d≥−cαlgα+(1−α)lg(1−α)

证明下界和上界类似。最后得到：

0<d≤c−αlgα−(1−α)lg(1−α)