UVALive 3675 Sorted bit sequence(数位dp+二分)

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UVALive 3675 Sorted bit sequence

题意

将区间 [L,R] 内的所有整数按照其二进制表示中1 的数量从小到大排序。如果 1 的数量 相同，则按照数的大小排序。求这个序列中的第 K 个数。其中，负数使用补码来表示：一个负数的二进制表示与其相反数的二进制之和恰好等于 232 。
数据规模： L×R≥0，−231≤L≤R≤231−1，1≤K≤min(R−L+1,2147473547) 。

分析

参考论文中的分析方法。
首先注意到一个条件 L∗R≥0 。
我们先考虑 m和n 同为正数的情况。
由于排序的第一关键字是1的数量，第二关键字是数的大小，因此我们很容易确定答案中1的个数：依次统计区间[m,n]内二进制表示中含 1的数量为 0,1,2,…的数，直到累加的答案超过 K ，则当前值就是答案含 1 的个数，假设是 s 。这个数位dp可以解决，枚举需要统计的1的个数，dfs。
同时，我们也求出了答案是第几个[m,n]中含 s个 1 的数。因此，只需二分答案，求出 [L,ans] 中含 s 个 1 的数的个数进行判断即可。

对于 L<0,R<0 的情况，我是把区间变为正的区间，根据一个负数的二进制表示与其相反数的二进制之和恰好等于 232 ，最后再把结果变回来就好了。

需要特殊处理 L=0或者R=0 的情况。

因为 L∗R≥0 了，所以实际上最麻烦的讨论： L<0,R>0 的情况已经避免掉了。

Code

//https://icpcarchive.ecs.baylor.edu/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=245&page=show_problem&problem=1676

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll base = 1ll << 32;

int T, digit[35];
ll L, R, K, LL, RR;
ll dp[35][35][35], cnt[4][35];

ll dfs(int pos, int pre, int limit, int sum)
{
    if (pos == -1) return pre == sum;
    if (pre > sum) return 0;
    if (!limit && dp[pos][pre][sum] != -1) return dp[pos][pre][sum];
    int last = limit ? digit[pos] : 1;
    ll ret = 0;
    for (int i = 0; i <= last; ++i) {
        ret += dfs(pos - 1, pre + i, limit && (i == last), sum);
    }
    if (!limit) dp[pos][pre][sum] = ret;
    return ret;
}

ll solve(ll x, int id, int flag)
{
    memset(digit, 0, sizeof (digit));
    int len = 0;
//  printf("x = %lld\n", x);
    while (x) {
        digit[len++] = x % 2;
        x /= 2;
    }
    if (flag != -1) {
        return dfs(len - 1, 0, 1, flag);
    }
    memset(cnt[id], 0, sizeof(cnt[id]));
    for (int i = 1; i <= 32; ++i) { // 别忘了32！
        cnt[id][i] = dfs(len - 1, 0, 1, i); // 枚举有i个1
//      printf("cnt[%d][%d] = %lld\n", id, i, cnt[id][i]);
    }
    return 0;
}

void work(int flag)
{
    solve(LL, 0, -1);
    solve(RR, 1, -1);
    ll prefix = 0;
    int goal;
    for (int i = 1; i <= 32; ++i) { // 别忘了32！
        prefix += (cnt[1][i] - cnt[0][i]);
        if (prefix >= K) {
            prefix -= (cnt[1][i] - cnt[0][i]);
            goal = i;
            break;
        }
    }
//  printf("goal = %d\n", goal);
    ll left = K - prefix + cnt[0][goal];
    ll high = RR, low = LL, mid;
    while (low < high) {
        mid = (1ll * low + high) / 2;
        ll tmp = solve(mid, -1, goal);
        if (tmp < left) low = mid + 1;
        else high = mid;
    }
    ll ans = high;
    if (flag) ans = -(base - high);
    printf("%lld\n", ans);
}

int main()
{
    memset(dp, -1, sizeof(dp));
    scanf("%d", &T);
    while (T--) { // 注意n * m >= 0
        scanf("%lld%lld%d", &L, &R, &K);
        if (L < 0 && R < 0) {
            LL = base + L - 1, RR = base + R;
            work(1);
        } else if (L < 0 && R == 0) {
            if (K == 1) printf("0\n");
            else {
                K--;
                LL = base + L - 1, RR = base - 1;
                work(1);
            }
        } else if (L == 0 && R == 0) { // K = 0
            printf("0\n");
        } else if (L == 0 && R > 0) {
            if (K == 1) printf("0\n");
            else {
                K--;
                LL = 0, RR = R;
                work(0);
            }
        } else { // L > 0 && R > 0
            LL = L - 1, RR = R;
            work(0);
        }
    }
    return 0;
}