【概率论】5-7:Gama分布(The Gamma Distributions Part I)

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title: 【概率论】5-7:Gama分布(The Gamma Distributions Part I)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- The Gamma Distributions
toc: true
date: 2018-03-31 18:33:39

Abstract: 本文介绍Gamma函数和Gamma分布，本课第二部分介绍指数分布
Keywords: The Gamma Distributions

开篇废话

今天的废话就是如果看书的时候没看透彻，写博客的时候就会不知所言，所以一定要学透了再总结，没学好就总结，会逻辑混乱
本文介绍了另一个非常有用的连续随机变量的分布族——Gamma分布，学习Gamma分布的适用场景和部分性质，以及一个贯穿始终的例子，排队时间，排队不只是人的排队，在计算机高性能计算，比如CUDA中，任务的排队也是有的，所以这个模型适用场景还是比较多的，虽然可能不如正态分布在自然界中那么普遍，但是在正随机变量中，Gamma分布族在连续分布中举足轻重。

The Gamma Function

在提出Gamma分布之前，我们先来认识一个非常有趣的函数，这个函数叫做Gamma函数。
首先来看个例子：
我们在给一灯泡的寿命建模，根据我们经验，这个灯泡的寿命越长，发生的概率越小，时间越短，则概率越高，寿命是0的我们不考虑，我们只考虑从0开始但不包括零，我们用下面的这个模型建模是合理的，之所以说是合理的而不是唯一的，是因为这个模型不具备唯一性：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-x}& \text{for}x>0\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$
我们在没有大量数据或者试验情况下无法验证模型正确性，但是从目前来看好像和我们知道的先验知识吻合，所以我们就假定其是合理的，然后我们求这个灯泡的均值和方差：
$$\begin{gathered} E(X)={\int }_0^{\infty }x{e}^{-x}dx \\ Var(X)={\int }_0^{\infty }{x}^2{e}^{-x}dx \end{gathered}$$
注意，第二个方差的计算我觉都有点问题，因为按照这个积分，是把均值当做 $\mu =0$ 来计算的，但是均值是从0到正无穷的积分，所以均值不会是0，所以这个方差公式我们留意一下（如果有人知道我哪错了，可以给我留言，谢谢）
这个均值的计算是一个有趣的函数。
我们来回忆一下，我们的函数都是什么样子的，我们目前学过的函数大多数都是由初等函数经过计算得到的，比如 $e^{x^2+\alpha sin(y)}$ 是指数计算组合了多项式和三角函数得到的一个新函数，当然，我们学了积分，微分运算后，我们可以用积分来生成新的函数，比如，我们把上面求均值的积分，定义为一个新函数，这个函数叫做Gamma函数

Definition 5.7.1 The Gamma Function.For each positive number $\alpha$ ,let the value $\Gamma (\alpha )$ be defined by the following integral:
$$\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\infty }{x}^{\alpha -1}{e}^{-x}dx=1$$
The function $\Gamma$ defined by Eq.(5.7.1) for $\alpha >0$ is called the gamma function.

这就是Gamma函数的定义，这个希腊字母 $\Gamma$ 读作 “Gamma” 注意，这个函数的自变量是 $\alpha$ 而 $x$ 只是积分中的一个哑变量，没作用，可以写作任何变量。
在举个 ：
$$\Gamma (1)={\int }_0^{\infty }{x}^{1-1}{e}^{-x}dx=1$$

上面的例子和接下来内容都说明了 $\Gamma (\alpha )$ 对于所有 $\alpha >0$ 都是有限的。

Theorem 5.7.1 If $\alpha >1$ then
$$\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)$$

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