k-means算法讲解



深入浅出K-Means算法

          

摘要：在数据挖掘中，K-Means算法是一种 cluster analysis 的算法，其主要是来计算数据聚集的算法，主要通过不断地取离种子点最近均值的算法。

问题

K-Means算法主要解决的问题如下图所示。我们可以看到，在图的左边有一些点，我们用肉眼可以看出来有四个点群，但是我们怎么通过计算机程序找出这几个点群来呢？于是就出现了我们的K-Means算法（Wikipedia链接）

K-Means要解决的问题

算法概要

这个算法其实很简单，如下图所示： 

从上图中，我们可以看到，A，B，C，D，E是五个在图中点。而灰色的点是我们的种子点，也就是我们用来找点群的点。有两个种子点，所以K=2。

然后，K-Means的算法如下：

1. 随机在图中取K（这里K=2）个种子点。
2. 然后对图中的所有点求到这K个种子点的距离，假如点Pi离种子点Si最近，那么Pi属于Si点群。（上图中，我们可以看到A，B属于上面的种子点，C，D，E属于下面中部的种子点）
3. 接下来，我们要移动种子点到属于他的“点群”的中心。（见图上的第三步）
4. 然后重复第2）和第3）步，直到，种子点没有移动（我们可以看到图中的第四步上面的种子点聚合了A，B，C，下面的种子点聚合了D，E）。

这个算法很简单，但是有些细节我要提一下，求距离的公式我不说了，大家有初中毕业水平的人都应该知道怎么算的。我重点想说一下“求点群中心的算法”。

求点群中心的算法

一般来说，求点群中心点的算法你可以很简的使用各个点的X/Y坐标的平均值。不过，我这里想告诉大家另三个求中心点的的公式：

1）Minkowski Distance公式——λ可以随意取值，可以是负数，也可以是正数，或是无穷大。

2）Euclidean Distance公式——也就是第一个公式λ=2的情况

3）CityBlock Distance公式——也就是第一个公式λ=1的情况

这三个公式的求中心点有一些不一样的地方，我们看下图（对于第一个λ在0-1之间）。

（1）Minkowski Distance     （2）Euclidean Distance    （3） CityBlock Distance

上面这几个图的大意是他们是怎么个逼近中心的，第一个图以星形的方式，第二个图以同心圆的方式，第三个图以菱形的方式。

K-Means的演示

如果你以”K Means Demo“为关键字到Google里查你可以查到很多演示。这里推荐一个演示：http://home.dei.polimi.it/matteucc/Clustering/tutorial_html/AppletKM.html

操作是，鼠标左键是初始化点，右键初始化“种子点”，然后勾选“Show History”可以看到一步一步的迭代。

注：这个演示的链接也有一个不错的K Means Tutorial。

kmeans有几个缺点（这在很多资料上都有说明）：

1、最终簇的类别数目（即中心点或者说种子点的数目）k并不一定能事先知道，所以如何选一个合适的k的值是一个问题。
2、最开始的种子点的选择的好坏会影响到聚类结果。
3、对噪声和离群点敏感。
4、等等。

K-Means++算法

K-Means主要有两个最重大的缺陷——都和初始值有关：

• K是事先给定的，这个K值的选定是非常难以估计的。很多时候，事先并不知道给定的数据集应该分成多少个类别才最合适。（ISODATA算法通过类的自动合并和分裂，得到较为合理的类型数目K）

• K-Means算法需要用初始随机种子点来搞，这个随机种子点太重要，不同的随机种子点会有得到完全不同的结果。（K-Means++算法可以用来解决这个问题，其可以有效地选择初始点）

我在这里重点说一下K-Means++算法步骤：

1. 先从我们的数据库随机挑个随机点当“种子点”。
2. 对于每个点，我们都计算其和最近的一个“种子点”的距离D(x)并保存在一个数组里，然后把这些距离加起来得到Sum(D(x))。
3. 然后，再取一个随机值，用权重的方式来取计算下一个“种子点”。这个算法的实现是，先取一个能落在Sum(D(x))中的随机值Random，然后用Random -= D(x)，直到其<=0，此时的点就是下一个“种子点”。
4. 重复第（2）和第（3）步直到所有的K个种子点都被选出来。
5. 进行K-Means算法。

相关的代码你可以在这里找到“implement the K-means++ algorithm”（墙）另，Apache的通用数据学库也实现了这一算法

  可以看到算法的第三步选取新中心的方法，这样就能保证距离D(x)较大的点，会被选出来作为聚类中心了。至于为什么原因很简单，如下图 所示：  

                                                

      假设A、B、C、D的D(x)如上图所示，当算法取值Sum(D(x))*random时，该值会以较大的概率落入D(x)较大的区间内，所以对应的点会以较大的概率被选中作为新的聚类中心。So it's work!

kmeans++算法的基本思路

kmeans++算法的主要工作体现在种子点的选择上，基本原则是使得各个种子点之间的距离尽可能的大，但是又得排除噪声的影响。 以下为基本思路：

1、从输入的数据点集合（要求有k个聚类）中随机选择一个点作为第一个聚类中心
2、对于数据集中的每一个点x，计算它与最近聚类中心(指已选择的聚类中心)的距离D(x)
3、选择一个新的数据点作为新的聚类中心，选择的原则是：D(x)较大的点，被选取作为聚类中心的概率较大
4、重复2和3直到k个聚类中心被选出来
5、利用这k个初始的聚类中心来运行标准的k-means算法

假定数据点集合X有n个数据点，依次用X(1)、X(2)、……、X(n)表示，那么，在第2步中依次计算每个数据点与最近的种子点（聚类中心）的距离，依次得到D(1)、D(2)、……、D(n)构成的集合D。在D中，为了避免噪声，不能直接选取值最大的元素，应该选择值较大的元素，然后将其对应的数据点作为种子点。

如何选择值较大的元素呢，下面是一种思路（暂未找到最初的来源，在资料[2]等地方均有提及，笔者换了一种让自己更好理解的说法）： 把集合D中的每个元素D(x)想象为一根线L(x)，线的长度就是元素的值。将这些线依次按照L(1)、L(2)、……、L(n)的顺序连接起来，组成长线L。L(1)、L(2)、……、L(n)称为L的子线。根据概率的相关知识，如果我们在L上随机选择一个点，那么这个点所在的子线很有可能是比较长的子线，而这个子线对应的数据点就可以作为种子点。

K-Means算法应用

看到这里，你会说，K-Means算法看来很简单，而且好像就是在玩坐标点，没什么真实用处。而且，这个算法缺陷很多，还不如人工呢。是的，前面的例子只是玩二维坐标点，的确没什么意思。但是你想一下下面的几个问题：

1）如果不是二维的，是多维的，如5维的，那么，就只能用计算机来计算了。

2）二维坐标点的X，Y 坐标，其实是一种向量，是一种数学抽象。现实世界中很多属性是可以抽象成向量的，比如，我们的年龄，我们的喜好，我们的商品，等等，能抽象成向量的目的就是可以让计算机知道某两个属性间的距离。如：我们认为，18岁的人离24岁的人的距离要比离12岁的距离要近，鞋子这个商品离衣服这个商品的距离要比电脑要近，等等。

只要能把现实世界的物体的属性抽象成向量，就可以用K-Means算法来归类了。

在《k均值聚类(K-means)》 这篇文章中举了一个很不错的应用例子，作者用亚洲15支足球队的2005年到1010年的战绩做了一个向量表，然后用K-Means把球队归类，得出了下面的结果，呵呵。

• 亚洲一流：日本，韩国，伊朗，沙特
• 亚洲二流：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜
• 亚洲三流：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰国，越南，阿曼，印尼

其实，这样的业务例子还有很多，比如，分析一个公司的客户分类，这样可以对不同的客户使用不同的商业策略，或是电子商务中分析商品相似度，归类商品，从而可以使用一些不同的销售策略，等等。

最后给一个挺好的算法的幻灯片：http://www.cs.cmu.edu/~guestrin/Class/10701-S07/Slides/clustering.pdf