汉诺塔——各种编程范式的解决

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　　作者：窗户

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　　理解递归，汉诺塔(Tower of Hanoi)是个很适合的工具，不大不小，作为最开始递归的理解正合适。从而学习各种计算机语言乃至各种编程范式的时候，汉诺塔一般都作为前几个递归实现的例子之一，是入门的好材料。

　　本文从汉诺塔规则出发，讲讲汉诺塔的递归解法以及各种编程范式下汉诺塔的解实现。

　　

　　汉诺塔介绍

　　

　　汉诺塔传说是源于印度的古老传说。

　　汉诺塔游戏一共有三根柱子，第一根柱子上有若干个盘，另外两根柱子上没有盘。

　　

 

　　柱子上的盘是按照大小从小到大的排列的，最上面的盘是最小的，越到下面越大。

　　每一次将任意一根柱子上最上面的一个盘放到另外一根柱子上，但要遵守以下两条：

　　1.每一次必须移动一个盘

　　2.大盘不可以压在小盘上面

　　

 

　　我们的目标就是反复移动盘，直到把所有的盘从第一根柱子上全部移动到其他的柱子，比如，这里我们就定死，全部移动到第三根柱子，则达到目的。

 

 

　　

　　

　　以上6个盘的移动方法我做了个动画，如下所示：

　　

　　

　　

　　递归

 

　　如果是第一次看到汉诺塔，估计会一下子变的手足无措。

　　但我们细细的去想想，从简单的开始入手，先看一个盘的情况，这个太简单了，只需要一步即可。

　　

 

　　既然是递归，我们就要考虑问题的分解，也就是降阶。

　　我们考虑n个盘的汉诺塔问题(n>1)。

　　我们来看，最大的那个盘什么时候才可以移动走呢？因为这是最大的盘，大盘不可以压小盘，所以它移动的前提一定是在其他的盘都在另外一根柱子上，这样可以空出来一根柱子让它移动过去。而同时，它的存在并不影响任何小盘的移动。

　　

　　于是我们可以把问题分解一下：

　　当n>1时，我们把n个盘从第一根柱子移动到第三根柱子，可以分为三个步骤：

　　1.把上面的n-1个盘从第一根柱子移动到第二根柱子

　　2.把最大的盘从第一根柱子移动到第三根柱子

　　3.把那n-1个盘从第二根柱子移动到第三根柱子

　　

 

　　

　　于是，一个问题就这样被分解为三个小问题，达到了递归的降阶。

　　用数学归纳法很容易证明上述的移动方法，对于n个盘的移动步数是2ⁿ-1

　　当然，问题本身的形式化，我们用可以用hanoi(n, from, to, buffer)来表示问题，n是盘子的个数，from是盘子初始时所在的柱子，to是盘子最终所在的柱子，buffer是除了from和to的另外一个柱子。

　　

　　于是用伪码来表示这个递归：

　　hanoi(n, from, to, buffer):

　　begin

　　if n=1

　　　　begin

　　　　move_disk(from,to)

　　　　end

　　else

　　　　begin

　　　　hanoi(n-1,from,buffer,to)

　　　　hanoi(1,from,to,buffer)

　　　　hanoi(n-1,buffer,to,from)

　　　　end

　　end

　　

　　递归过程动画：

　　 

 

　　C++实现

 

　　C++作为当今世界上最复杂的计算机语言，没有之一，是值得说说的。C++支持过程式编程，同时也支持过程式基础上的面向对象，乃至泛型(其实比起很多语言比如lisp的泛型抽象来说，C++的泛型还是带有底层语言的特征)等。

　　C++还有实现很好的STL，支持各种常用数据结构，用来做算法描述真的比C语言舒服多了，而且编译后运行效率比C语言差不了多少。这也是为什么很多信息竞赛是用C++答题。

　　我们每一次移动盘，都会从某一个柱子(源柱)移动到另外一个柱子(目的柱),用源柱号和目的柱号的pair来代表一步，STL里有pair，正好使用，这也是集合论中比较基础的概念。

　　然后我们用pair串成的list来表示一个汉诺塔问题的解。　

#include 
#include 
using namespace std;
listint, int> > hanoi(int n, int from, int to, int buffer)
{
        if(n == 1) {
                listint, int> > s;
                s.push_back(pair<int, int>(from, to));
                return s;
        }

        listint, int> > s = hanoi(n-1,from,buffer,to);
        listint, int> > s2 = hanoi(1,from,to,buffer);
        listint, int> > s3 = hanoi(n-1,buffer,to,from);
        s.splice(s.end(), s2);
        s.splice(s.end(), s3);
        return s;
}

 

　　这基本就是上面的递归伪码的C++实现，需要注意的是，list的splice方法，是把s2、s3的链表直接搬过来，而不是复制。

 

　　Scheme实现

 

　　Scheme作为一种Lisp，支持多种范式，最主要当然是函数式编程，采用lambda演算作为其计算手段。Lisp一直是我认为必学的语言。而我心里越来越削弱Common Lisp的地位，觉得Scheme更为纯正，纯就纯在它至简的设计，Common Lisp还要分函数和变量两个名字空间，这时常让我觉得没有真正体现数据和函数一家的意思。

　　我们还是使用Scheme的实现当然比C++更为简洁一些

(define (hanoi n from to buffer)
 (if (= n 1)
  (list (cons from to))
  (append
   (hanoi (- n 1) from buffer to)
   (hanoi 1 from to buffer)
   (hanoi (- n 1) buffer to from))))

 

　　Prolog实现

 

　　Prolog是与C语言同时代的语言，曾经AI的三大学派之一符号学派的产物，当然，Lisp也属于这一学派的产物。

　　Prolog是明显不同于之前的几种编程语言，它使用的是逻辑范式，使用谓词演算来计算。

hanoi(1,FROM,TO,_,[[FROM,TO]]).
hanoi(N,FROM,TO,BUFFER,S) :-
        N>1,
        M is N-1,
        hanoi(M,FROM,BUFFER,TO,S2),
        hanoi(1,FROM,TO,BUFFER,S3),
        hanoi(M,BUFFER,TO,FROM,S4),
        append(S2,S3,S5),
        append(S5,S4,S).

　　

　　有点诡异啊，长的和平常习惯的语言很不一样了。

　　比如这里如果我想查4个盘的汉诺塔，从柱1移到柱3，

　　?- hanoi(4,1,3,2,S),write(S),!.
　　[[1,2],[1,3],[2,3],[1,2],[3,1],[3,2],[1,2],[1,3],[2,3],[2,1],[3,1],[2,3],[1,2],[1,3],[2,3]]

 

　　改进的递归

 

　　我们重新去看看这个递归的伪码　　

　　hanoi(n, from, to, buffer):

　　begin

　　if n=1

　　　　begin

　　　　move_disk(from,to)

　　　　end

　　else

　　　　begin

　　　　hanoi(n-1,from,buffer,to)

　　　　hanoi(1,from,to,buffer)

　　　　hanoi(n-1,buffer,to,from)

　　　　end

　　end

　　

　　绿色的hanoi(1,from,to,buffer)自然就是move_disk(from,to)

　　而两个红色的hanoi(n-1,from,buffer,to)和hanoi(n-1,buffer,to,from)，其实不过是柱号有所偏差,其实只需要解得hanoi(n-1,from,buffer,to)，然后通过from->buffer，buffer->to，to->from这样改变柱号，就得到hanoi(n-1,from,buffer,to)的解。

　　

　　C++的代码并不难改，只要遍历一把list，每个转换一遍，然后再来合并list就行了。

#include 
#include 
using namespace std;
listint, int> > hanoi(int disks, int from, int to, int buffer)
{
        if(disks == 1) {
                listint, int> > s;
                s.push_back(pair<int, int>(from, to));
                return s;
        }

        listint, int> > s = hanoi(disks-1,from,buffer,to);
        listint, int> > s2;
        pair<int, int> x;
        for(listint, int> >::iterator i=s.begin();i!=s.end();i++) {
                if(i->first == from) {
                        x.first = buffer;
                } else if(i->first == buffer) {
                        x.first = to;
                } else {
                        x.first = from;
                }
                if(i->second == from) {
                        x.second = buffer;
                } else if(i->second == buffer) {
                        x.second = to;
                } else {
                        x.second = from;
                }
                s2.push_back(x);
        }
        s.push_back(pair<int, int>(from, to));
        s.splice(s.end(),s2);
        return s;
}

　　

　　lambda满天飞的Scheme，上述的list转换完全可以用几个lambda来表示，　　

(define (hanoi disks from to buffer)
 (if (= disks 1)
  (list (cons from to))
  (let ((s (hanoi (- disks 1) from buffer to)))
   (append
    s
    (list (cons from to))
    (map
     (lambda (x)
      (let ((f (lambda (y) (cond ((= y from) buffer) ((= y buffer) to) (else from)))))
       (cons (f (car x)) (f (cdr x)))
      )
     )
     s
    )
   )
  )
 )
)

　　

　　C++一直是一个大试验田，里面可谓古灵精怪什么都有。其实，C++11也同样引入了lambda，于是C++局部也可以引入函数式编程，我在这里不给出代码，这个就交给有兴趣的读者去完成吧。

 

　　Prolog的转化则值得讲一讲,先把hanoi谓词修改了

hanoi(1,FROM,TO,_,[[FROM,TO]]).
hanoi(N,FROM,TO,BUFFER,S) :-
        N>1,
        M is N-1,
        hanoi(M,FROM,BUFFER,TO,S2),
        turn(S2,[[FROM,BUFFER],[BUFFER,TO],[TO,FROM]],S3),
        append(S2,[[FROM,TO]],S4),
        append(S4,S3,S).

 

　　我在这里加了一个谓词turn，而[[FROM,BUFFER],[BUFFER,TO],[TO,FROM]]代表着转化规则FROM=>BUFFER，BUFFER=>TO，TO=>FROM，通过规则把S2转换成S3。

　　再举个例子，turn([[1,2],[3,4],[5,9]], [[1,10],[2,20],[3,30],[4,40],[5,50]], [[10,20],[30,40],[50,90]])

　　因为[[1,10],[2,20],[3,30],[4,40],[5,50]]代表着转换规则1=>10，2=>20，3=>30，4=>40，5=>50

　　[[1,2],[3,4],[5,9]]里面只有9在转换表里找不到，其他都可以转换，所以最终最右边的这个是 [[10,20],[30,40],[50,90]]

 

　　接下来就是如何实现turn，这个需要逐步递归过去。

　　对于空列，当然转换为空列，

　　turn([],_,[]).

　　而对于其他情况，

　　我们可以先定义一个turn_list谓词，它跟turn谓词很相似，只是，它处理的对象是单个list

　　比如turn_list([1,2,3], [[1,10],[2,20],[3,30]], [10,20,30]).

　　于是我们对于普通情况的turn就可以如下定义：　　

　　turn([A|B],C,S) :-
　　　　turn_list(A,C,D),
　　　　turn(B,C,S2),
　　　　S = [D|S2].

　　

　　于是解决turn就转化为turn_list问题，处理的问题规模得到了降阶，这的确是解决递归的真谛啊。

　　我们在用递归的过程中，就是用尽任何手段来降阶，也就是说解决一个复杂问题转化为解决若干个复杂程度降低的问题。能够理解这一点，这篇文章的目的也就达到了。

　　turn_list谓词还是太复杂，继续降阶，我们再定义一个谓词turn_one，它只是用来转换单个元素的。

　　比如turn_one(1, [[1,10]], 10).

　　于是turn_list的描述则可以如下：　　

　　turn_list([],_,[]).
　　turn_list([A|B],C,S) :-
　　　　turn_one(A,C,D),
　　　　turn_list(B,C,S2),
　　　　S = [D|S2].

　　

　　而最终，turn_one的实现如下：　

　　turn_one(A,[],A).
　　turn_one(A,[[A,B]|_],B).
　　turn_one(A,[[B,_]|D],E) :-
　　　　not(A=B),
　　　　turn_one(A,D,E).

 

　　现实中的玩法

　　

　　以上讨论递归，虽然可以解决问题，但是似乎并不适合于现实中的汉诺塔游戏，人脑不是计算机，不太适合干递归的事情。

　　我们稍微修改一下Scheme程序，来观察移动过程中到底移动的是哪个盘，以期待更多的信息，从而发现规律。

　　我们对所有的盘从小到大从1号开始依次标号。　

(define (hanoi disks from to buffer)
 (if (= (length disks) 1)
  (list (list from to (car disks)))
  (append
   (hanoi (cdr disks) from buffer to)
   (hanoi (list (car disks)) from to buffer)
   (hanoi (cdr disks) buffer to from)
  )
 )
)

(for-each
 (lambda (x) (display (format "柱~a -> 柱~a (盘~a)\n" (car x) (cadr x) (caddr x))))
 (hanoi (range (read) 0 -1) 1 3 2)
)

 

　　对于3个盘的情况，

　　柱1 -> 柱3 (盘1)
　　柱1 -> 柱2 (盘2)
　　柱3 -> 柱2 (盘1)
　　柱1 -> 柱3 (盘3)
　　柱2 -> 柱1 (盘1)
　　柱2 -> 柱3 (盘2)
　　柱1 -> 柱3 (盘1)

 

　　对于4个盘的情况，　

　　柱1 -> 柱2 (盘1)
　　柱1 -> 柱3 (盘2)
　　柱2 -> 柱3 (盘1)
　　柱1 -> 柱2 (盘3)
　　柱3 -> 柱1 (盘1)
　　柱3 -> 柱2 (盘2)
　　柱1 -> 柱2 (盘1)
　　柱1 -> 柱3 (盘4)
　　柱2 -> 柱3 (盘1)
　　柱2 -> 柱1 (盘2)
　　柱3 -> 柱1 (盘1)
　　柱2 -> 柱3 (盘3)
　　柱1 -> 柱2 (盘1)　
　　柱1 -> 柱3 (盘2)
　　柱2 -> 柱3 (盘1)

 

　　我们再继续观察别的数量的盘，

　　总结一下，我们发现：

　　1.从第一步开始，奇数步都是移动最小的盘

　　2.对于奇数个盘的情况， 最小的盘的移动顺序是柱1->柱3->柱2->柱1->柱3->柱2->...

　　3.对于偶数个盘的情况， 最小的盘的移动顺序是柱1->柱2->柱3->柱1->柱2->柱3->...

　　4.偶数步的移动发生在最小的盘所在柱子之外的两根柱子之间

 

　　对于上述2、3，在于我们的移动目的是想把盘从第一根柱子移动到第三根柱子，如果我们是想把盘从第一根柱子移动到第二根柱子，那么2、3的移动顺序交换。

　　对于上述4，因为大盘不能压小盘的规则，所以实际的移动方向是固定的，需要临时比较一下从而看出移动方向。

　　以下的动画可以说明移动过程：

　　

 

　　思考

 

　　我还是留下几个思考给读者:

　　1.可不可以证明对于n个盘，上述的2ⁿ-1步是最少的移动步数？

　　2.可以证明“现实中的玩法”的正确性吗？对于“现实中的玩法”，可以用计算机语言实现吗？

　　3.这个问题有点意思，对于n个从小到大的盘，全部放在3个柱子中任何一个柱子上，每个盘任意放，但要满足大盘不可以压小盘上。这有很多种不同的放法。

　　

　　比如上图中下面的情况就是6个盘随便给定的一个放法，满足大盘不压小盘。

　　初始的时候n个盘都在第一根柱子上，可不可以使用汉诺塔的规则一步步移动到某个给定的放法？再进一步，可以编程解决吗？

　　4.这个问题比较难一点，需要一定的数学推导了。可不可以直接解决step(n,from,to,buffer,m)，表示n个盘的汉诺塔的解的第m步。当然，我要的可不是一步步先算出来，再找出第m步，这个做法不好。