常系数齐次线性递推

前言

上了高二学了数列，知道了如何给出递推求通项，也从数竞同学那里听来了高阶常系数齐次线性递推的通项求法。
那么OI上如何应用呢？
百度了一下发现自己在这一块的技能点为0，就决定学一学QwQ
线性代数渣没办法

特征多项式

若有常数$\lambda$，向量$v$，对于n阶矩阵A满足$$\lambda v=Av$$
那么称$\lambda$为A的特征值，$v$为A的特征向量
有一个定理，秩为k的矩阵有k组线性无关的特征向量
我们把式子变一下形
$$(A-\lambda I)v=0$$
I是单位矩阵
这个式子有解的充要条件为$det(A-\lambda I)=0$
左边的东西显然是一个关于$\lambda$的n次多项式，称作A的特征多项式
这个多项式的n个根就是n组特征值了

Cayley-Hamilton定理

设矩阵A的特征多项式为f(x)，那么f(A)=0
这里f(A)可以理解成把多项式里面的乘法换成矩阵乘法
证明：考虑写成$f(A)={\prod }_{i=1}^n({\lambda }_{i}I-A)$
如果对于每个特征向量$v_i$都有$v_{i}f(A)=0$，由于这些特征向量线性无关，所以有f(A)=0
考虑一个特征向量和其对应的特征值
$$v_i({\lambda }_{i}I-A)=v_i{\lambda }_{i}I-v_{i}A$$
根据定义这个东西为0
Q.E.D
矩阵乘法不满足交换律？其实在这里满足，把式子拆一下就好了

求解常系数齐次线性递推转移矩阵的特征多项式

特征多项式可以直接差值求，但在我们的这个问题里可以不用
$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_1& a_2& a_3& ...& a_n\\ 1& 0& 0& ...& 0\\ 0& 1& 0& ...& 0\\ 0& 0& 1& ...& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& 0& ...& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{h}_{n-1}\\ h_{n-2}\\ h_{n-3}\\ h_{n-4}\\ ...\\ h_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{h}_n\\ h_{n-1}\\ h_{n-2}\\ h_{n-3}\\ ...\\ h_1\end{array}\right)$$
$$f(\lambda )=|\left(\begin{array}{cccccc}\lambda -a1& -a2& -a3& ...& -a_{n-1}& -an\\ -1& \lambda & 0& ...& 0& 0\\ 0& -1& \lambda & ...& 0& 0\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ 0& 0& 0& ...& -1& \lambda \end{array}\right)|$$
根据第一行展开$$f(\lambda )=(\lambda -a_1)A_{1,1}+(-a2)A_{1,2}+(-a3)A_{1.3}...+(-An)A_{1,n}$$
其中$A_{i,j}$表示A的代数余子式
显然所有余子式都是下三角矩阵，行列式很容易求得
那么我们得到了$$f(\lambda )={\lambda }^n-\sum _{i=1}^{n}ai{\lambda }^{n-i}$$
所谓特征多项式（刚好是特征根的形式的说）

如何计算

回到原问题，我们要求形如$H\ast A^m$的式子
我们知道$f(A)=0$，所以$A^m=A^m\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}f(A)$
做多项式取模我们得到了一个关于A的n-1次多项式，记为${\sum }_{i=0}^{n-1}{c}_i{A}^i$
那么我们要求的就是${\sum }_{i=0}^{n-1}{c}_i{A}^{i}H$的第m项
而$A^{i}H=h_{i+n}$，也就是 ${\sum }_{i=0}^{k-1}{c}_i{h}_{i+k}$
那么我们先O(n^2)把$h_n...h_{2\ast n-1}$计算出来就好了
多项式取模可以用NTT也可以直接暴力

例题(bzoj4161)

直接O(k^2 log k)求出$x^n\%f(x)$
注意特判k=1的情况(虽然数据没有)

#include 
#include 
#include 
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=4e3+5,Mo=1e9+7;

int n,k,a[N],h[N],f[N],g[N],b[N],an[N];

void mul(int *a,int *b,int *c) {
	fo(i,0,2*k-2) g[i]=0;
	fo(i,0,k-1) fo(j,0,k-1) (g[i+j]+=(ll)a[i]*b[j]%Mo)%=Mo;
	fd(i,2*k-2,k)
		fd(j,k-1,0) 
			(g[i-k+j]-=(ll)g[i]*f[j]%Mo)%=Mo;
	fo(i,0,k-1) c[i]=g[i];
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&k);
	fo(i,1,k) scanf("%d",&a[i]);
	fo(i,0,k-1) scanf("%d",&h[i]);
	if (n1) b[1]=1;
	else b[0]=-f[0];
	an[0]=1;
	for(n-=k-1;n;n>>=1) {
		if (n&1) mul(an,b,an);
		mul(b,b,b);
	}
	fo(i,k,2*k-1)
		fo(j,1,k)
			(h[i]+=(ll)h[i-j]*a[j]%Mo)%=Mo;
	int ans=0;
	fo(i,0,k-1) (ans+=(ll)an[i]*h[i+k-1]%Mo)%=Mo;
	printf("%d\n",(ans+Mo)%Mo);
	return 0;
}