第1课 方程组的几何解释

第一课 方程组的几何解释

对于方程组

{2xy=0x+2y=3

Row Picture & Column Picture

而行图像(Row Picture)就是下面这个图中所示的两直线相交。

第1课 方程组的几何解释_第1张图片

它的列图像(Column Picture)就像下面的 AX=b 这样的形式

[2112][xy]=[03]

列图像换个角度考虑就是两个向量的线性组合
x[21]+y[12]=[03]

x=1,y=2恰好是这个等式的解。
而列图像用图像更形像的表示就是下面这样:
第1课 方程组的几何解释_第2张图片

三维

扩展到3个未知数的方程

2xy=0x+2yz=13y+4z=4

它用列图像(Column Picture)表示就是

A=210123014

b=014

或者用线性组合的角度来看

x210+y123+z014=014

而它的行图像(Row Picture)就比较难画了,就不画了。。。

Question

Question:

Can I solve Ax=b for ervery b?

Do the linear combination of the columns fill 3-D space?

Answer:

For some A,the answer is YES!

对于三维的情况,当三个向量共面时,只有在同一平面上的b可以用当前三个列向量线性组合出。非平面上的线则不可以。

当9维呢?同样有时可以组合满整个9维空间,而有些则不可以。

方程组的矩阵形式

Ax=b

[2153][12]=1[21]+2[53]=[127]

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