第1课 方程组的几何解释

第一课 方程组的几何解释

对于方程组

{2x−y=0−x+2y=3

Row Picture & Column Picture

而行图像(Row Picture)就是下面这个图中所示的两直线相交。

它的列图像(Column Picture)就像下面的 AX=b 这样的形式

[2−1−12][xy]=[03]

列图像换个角度考虑就是两个向量的线性组合

x[2−1]+y[−12]=[03]

x=1,y=2恰好是这个等式的解。
而列图像用图像更形像的表示就是下面这样：

三维

扩展到3个未知数的方程

⎧⎩⎨⎪⎪2x−y=0−x+2y−z=−1−3y+4z=4

它用列图像(Column Picture)表示就是

A=⎡⎣⎢⎢2−10−12−30−14⎤⎦⎥⎥

b=⎡⎣⎢⎢0−14⎤⎦⎥⎥

或者用线性组合的角度来看

x⎡⎣⎢⎢2−10⎤⎦⎥⎥+y⎡⎣⎢⎢−12−3⎤⎦⎥⎥+z⎡⎣⎢⎢0−14⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢⎢0−14⎤⎦⎥⎥

而它的行图像(Row Picture)就比较难画了，就不画了。。。

Question

Question:

Can I solve Ax=b for ervery b?

Do the linear combination of the columns fill 3-D space?

Answer:

For some A,the answer is YES!

对于三维的情况，当三个向量共面时，只有在同一平面上的b可以用当前三个列向量线性组合出。非平面上的线则不可以。

当9维呢？同样有时可以组合满整个9维空间，而有些则不可以。

方程组的矩阵形式

Ax=b

[2153][12]=1[21]+2[53]=[127]