【算法设计与分析】Floyd-Warshall算法求任意两点间最短路径

实验代码（github)

一、实验内容

• 实现Floyd-Warshall算法求解任意两点之间的最短路径。
• 测试用图
  
• 预期输出
  

二、理论准备

• 核心思想：它去找出两点之间每一条路径，然后选择最短的那条路径，由于它要找所有的路径所以导致复杂度很高。
• 使用条件：不能包含任何的负圈。可以有负边。
• 这里有一个英文版的动画演示floyd-warshall算法的网页，推荐去看看，通俗易懂。
• 伪码
  
• 伪码解析：
  • 首先最外层循环控制的是中间节点，然后内层的两个循环依次访问矩阵中的每个顶点对，这样给人的感觉好像就是，这个算法找到的是不是只包含三个顶点或者两个顶点的最短路径，当然不是了。
  • 不要忘记它有一个迭代的过程，想一下，第一次迭代的时候，它找到的确实是上面说的那种最短路径，因为它逐个的去尝试，并记录下了最短的那个路径值。然后当它第二次开始迭代的时候，$d_{ik}^{k-1}$中记住的是上次找到的那个最短路径啊，也就是说找到的是最多经过一个中间节点的最短路径，然后这次在找i到j之间经过k的最短路径的时候，首先看i到k之间的距离，而此时$d_{ik}$是上次求得的最短路径，所以这次是在上次的基础上再求最短路径。这样一来到最后，i到j之间的最短路径，最多有K个顶点（包含i和j，k是图中的顶点数)。

三、实验环境

• 操作系统及版本：windows10
• 编译软件及版本:g++6.3.0
• 使用的计算机语言:c++语言

四、实验过程

• 由于这次需要使用邻接矩阵来存储，所以之前的代码就不能复用了。
• 但是算法很简单实现起来也很方便，不过要注意的是初始化权值矩阵的时候，对角线上的元素，也就是某个顶点自己到自己的距离是0，而到其它顶点的距离是无穷大。然后真正实现的时候也没有必要用N个D矩阵，因为每次计算都要用到上一次的计算结果，所以只需要保存上一次的计算结果，而更早的结果就可以被覆盖掉。
• 核心代码如下：

for(int k = 0; k < size; k++)
  {
    for(int i = 0; i <size; i++)
    {
      for(int j=0; j < size; j++)
      {
        int temp = D0[i][k] + D0[k][j];
        if(D0[i][k] == INT_MAX || D0[k][j] == INT_MAX)//防止溢出
          temp = INT_MAX;
        D[i][j]  = min(D0[i][j], temp);
      }
    }
    for(int i = 0; i <size; i++)
    {
      for(int j=0; j < size; j++)
        D0[i][j] = D[i][j];
    }
  }

五、实验结果

• 最后输出的最距离矩阵
  

六、实验总结

• 实现比较简单，最主要问题出在了数据类型发生溢出。在初始化的时候非对角线元素初始化为INT_MAX,结果在计算的时候发生了溢出，导致输出都是复数，bug比较容易发现，所以基本理解算法思想以后，实现相对比较简单。