第一类斯特林数学习小记

概念

问题来源

p个不同人围k个相同圆桌而坐，要求各桌非空，其不同方案数为第一类Stirling数 S(p,k) 。

问题解决

S(p,p)＝1(p≥0)，S(p,0)＝0(p≥1)
分类讨论。
一类，人1独围一圆桌： S(p－1,k－1) ；
二类 ,人1不独围一圆桌：先安排人2,人3,…, 人p，再把人1安排在人2,人3,…,人p任一人的 左边，有 (p－1)S(p－1,k) 个。
综上所述： S(p,k)＝S(p－1,k－1)＋(p－1)S(p－1,k)
这个是第一类斯特林数的组合概念。

另一种概念

众所周知，排列数Ppn为在n个人中选k个人的排列方案数，组合数Cpn为在n个人中选k个人的方案数

Ppn=Cpn∗p!=n(n−1)(n−2)……(n−p+1)[式子a]

把 式子a展开
得到

Ppn＝n(n－1)(n－2)…(n−p＋1)

＝S(p,p)np－S(p,p－1)np−1＋…＋S(p,p－k)np−k−…S(p,0)n0

正负交替
所以

∑k=0p=(−1)p−kS(p,k)nk

这个才是第一类斯特林数的定义。
所以第一类斯特林数S就是排列数公式的展开式的系数，也是如上所述的那个东西。

第一类斯特林数递推

显然 S(p,p)＝1，S(p,0)＝0
S(p,k)(k＝1,2,…,p－1) 满足：
S(p,k)＝(p－1)S(p－1,k)＋S(p－1,k－1)
其实可以证明为什么排列数展开式满足这个条件的，这里不详说。

应用

解决自然数幂和参见用第一类斯特林数解决自然数幂和，或者一些组合数学的问题。
这个第一类斯特林数做自然数幂和简直是极品，你可以做一做WYF的盒子。正常打自然数幂和的在mod意义下操作的题目都要打中国剩余定理来取模，但是我们发现我们求得是排列数，就是可以一坨数乘起来，没有除号运算。然后在除以k+1的过程中，因为n-k+1到n一共有k个数，一定有且只有一个数是k+1的倍数，那么可以直接整除，就省去了除法部分了。

题目

GDKOI2016的小学生数学题小学生数学题题解
WYF的盒子