权值线段树 学习笔记

权值线段树 学习笔记

权值线段树可以用来代替平衡树的一些操作，如果不知道平衡树是干什么用的，请先学习平衡树。

首先，我们想一下线段树可以干什么？？

区间加，单点加，区间和……其实还有很多操作，只不过权值线段树一般只用到这几个比较常见的操作。

权值线段树的实质是对值域建线段树，权值线段树对值域中的每一个值都建了一个叶子节点，所以建树时间复杂度是 \(\Theta (n\log_2 [l,r])\) ， \([l,r]\) 是值域。单点修改，插入就是 \(\log_2[l,r]\) 。

考虑平衡树的添加一个数，因为值域中的每一个值都对应一个叶子，所以我们直接找到这个叶子节点，将它的数量加 \(1\) 就可以了，删除一个数同理。

求第 \(k\) 大和平衡树差不多，如果 \(k\) 小于等于左儿子就递归左子树，大于就递归右儿子，同时 \(k\) 减去左儿子的大小。

求 \(x\) 为第 \(k\) 大也和平衡树差不多，如果 \(x\le mid\) 就递归左子树，如果 \(x>mid\) 就递归右子树，同时 \(k\) 加右子树的大小。

因为值域一般比较大，而空间复杂度是 \(\Theta([l,r])\) ，很多题目会炸掉，所以一般采用两种方法来优化。

第一种方法是离散化，将所有操作的数据离散化为 \([1,n]\) 然后在 \([1,n]\) 建树，每次操作实际修改离散化后的值，只适合可以离线的题目，但是这种方法无论是时间复杂度还是空间复杂度都优于第二种，而且写法简单。建树 \(\Theta (n\log_2n)\) ， \(n\) 是数据范围，单次操作时间复杂度为 \(\Theta (\log_2n)\) ，空间复杂度为 \(\Theta (n)\)。

第二种方法是动态开点线段树，这种方法虽然在很多方面不如第一种，但是可以在线。考虑在值域中二分每次要操作的值，只需要 \(\log_2[l,r]\) 的时间复杂度，所以我们考虑每次把二分用到的点在线段树上现用现开，这样就可以实现在线操作。所以建树时间复杂度为 \(\Theta (n\log_2[l,r])\) ，单次操作为 \(\Theta (\log_2 [l,r])\) ，空间复杂度为 \(\Theta (n\log_2[l,r])\) 。

但是需要注意的是权值线段树只能维护正数，不能维护负数，所以在处理负数的时候要统一加一个基数。

几道例题。

\(luogu\ P1168\)中位数

直接离线权值线段树，然后不断加数在 \(i\) 为奇数的时候维护第 \(i/2+1\) 大就可以了。

代码

\(luogu\ P2234 [HNOI2002]\)营业额统计

离线或者在线每次差插入的数是第 \(k\) 大，然后再查 \(k-1\) 小或者 \(k+1\) 小在减一下，取个 \(\min\) 就可以了。

代码

\(luogu\ P1486 [NOI2004]\)郁闷的出纳员

维护一个全局 \(tag\) 在每次全局加减的时候对 \(tag\) 进行操作，然后在删除的时候对 \(min\) 进行一个 \(tag\) 的逆运算，把小于等于逆运算后的数区间删除，因为加入权值线段树的值是不变的，但是 \(tag\) 是不断变化的，所以我们对当前的操作的数进行一个 \(tag\) 的逆运算，就是权值线段树中要操作的数字。插入也要进行一个 \(tag\) 的，然后每次直接查第 \(k\) 大就可以了。

需要注意的是因为进行 \(tag\) 逆运算可能有负数，所有这道题目需要统计加一个基数，然后输出的时候再减掉基数。

代码