朴素贝叶斯算法

本文参考唐宇迪的课程，博客https://www.zhoulujun.cn/html/theory/math/2017_0913_8050.html

目录

贝叶斯算法概述

     贝叶斯算法的提出：

     贝叶斯定理

贝叶斯推导实例

     男生、女生穿长裤

     拼写纠错实例

 

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贝叶斯算法概述

正向概率：假设袋子里面有N个白球，M个黑球，你伸手进去摸出黑球的概率是多大？

逆向概率：如果我们事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而是闭着眼睛摸出一个或者好几个球，观察这些取出来的球的颜色之后，那么我们可以就此对袋子里面的黑白球的比例作出什么样的预测呢？

关于上面的两个问题，正向概率我们很容易想到如何去解决，但是逆向概率，我们就不知道如何下手了，不过不要担心，贝叶斯就是为了解决“逆概率”而提出的。

     贝叶斯算法的提出：

长久以来，人们对一件事情发生或不发生的概率，只有固定的0和1，即要么发生，要么不发生，从来不会去考虑某件事情发生的概率有多大，不发生的概率又是多大。而且概率虽然未知，但最起码是一个确定的值。比如如果问那时的人们一个问题：“有一个袋子，里面装着若干个白球和黑球，请问从袋子中取得白球的概率是多少？”他们会想都不用想，会立马告诉你，取出白球的概率就是1/2，要么取到白球，要么取不到白球，即θ只能有一个值，而且不论你取了多少次，取得白球的概率θ始终都是1/2，即不随观察结果X 的变化而变化。

    这种频率派的观点长期统治着人们的观念，但是：

假设我们有如下的7个球在A,B两个框中，如果我们随便取一个球，已知取到的球来自B框中，那么这个球是白球的概率是多少呢？或者问去除的球是白色，那么取自B框的概率是多少呢？这个问题不是很好解决，直到后来一个名叫Thomas Bayes的人物出现。

  托马斯·贝叶斯Thomas Bayes（1702-1763）在世时，并不为当时的人们所熟知，很少发表论文或出版著作，与当时学术界的人沟通交流也很少，用现在的话来说，贝叶斯就是活生生一民间学术“屌丝”，可这个“屌丝”最终发表了一篇名为“An essay towards solving a problem in the doctrine of chances”，翻译过来则是：机遇理论中一个问题的解。你可能觉得我要说：这篇论文的发表随机产生轰动效应，从而奠定贝叶斯在学术史上的地位。

    回到上面的例子：“有一个袋子，里面装着若干个白球和黑球，请问从袋子中取得白球的概率θ是多少？”贝叶斯认为取得白球的概率是个不确定的值，因为其中含有机遇的成分。比如，一个朋友创业，你明明知道创业的结果就两种，即要么成功要么失败，但你依然会忍不住去估计他创业成功的几率有多大？你如果对他为人比较了解，而且有方法、思路清晰、有毅力、且能团结周围的人，你会不由自主的估计他创业成功的几率可能在80%以上。这种不同于最开始的“非黑即白、非0即1”的思考方式，便是贝叶斯式的思考方式。

    继续深入讲解贝叶斯方法之前，先简单总结下频率派与贝叶斯派各自不同的思考方式：

 

• 频率派把需要推断的参数θ看做是固定的未知常数，即概率θ虽然是未知的，但最起码是确定的一个值，同时，样本X 是随机的，所以频率派重点研究样本空间，大部分的概率计算都是针对样本X 的分布；

• 而贝叶斯派的观点则截然相反，他们认为参数θ是随机变量，而样本X 是固定的，由于样本是固定的，所以他们重点研究的是参数θ的分布。

    相对来说，频率派的观点容易理解，所以下文重点阐述贝叶斯派的观点。 贝叶斯派既然把θ看做是一个随机变量，所以要计算θ的分布，便得事先知道θ的无条件分布，即在有样本之前（或观察到X之前），θ有着怎样的分布呢？比如往台球桌上扔一个球，这个球落会落在何处呢？如果是不偏不倚的把球抛出去，那么此球落在台球桌上的任一位置都有着相同的机会，即球落在台球桌上某一位置的概率服从均匀分布。这种在实验之前定下的属于基本前提性质的分布称为先验分布，或者无条件分布。

    至此，贝叶斯及贝叶斯派提出了一个思考问题的固定模式：

            先验分布 π(θ)+ 样本信息χ⇒  后验分布π(θ|x)

上述思考模式意味着，新观察到的样本信息将修正人们以前对事物的认知。换言之，在得到新的样本信息之前，人们对的认知是先验分布 π(θ)，在得到新的样本信息后χ，人们对θ的认知为π(θ|x)。

而后验分布π(θ|x)一般也认为是在给定样本χ的情况下θ的条件分布，而使达到最大的值称为最大后θMD验估计，类似于经典统计学中的极大似然估计。

    综合起来看，则好比是人类刚开始时对大自然只有少得可怜的先验知识，但随着不断是观察、实验获得更多的样本、结果，使得人们对自然界的规律摸得越来越透彻。所以，贝叶斯方法既符合人们日常生活的思考方式，也符合人们认识自然的规律，经过不断的发展，最终占据统计学领域的半壁江山，与经典统计学分庭抗礼。

    此外，贝叶斯除了提出上述思考模式之外，还特别提出了举世闻名的贝叶斯定理。

     贝叶斯定理

  在引出贝叶斯定理之前，先学习几个定义：

• 边缘概率（又称先验概率）：某个事件发生的概率。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中那些不需要的事件通过合并成它们的全概率，而消去它们（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率），这称为边缘化（marginalization），比如A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。 

• 联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(A∩B)或者P(A,B)。

• 条件概率（又称后验概率）：事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”,。

  接着，考虑一个问题：P(A|B)是在B发生的情况下A发生的可能性。

• 首先，事件B发生之前，我们对事件A的发生有一个基本的概率判断，称为A的先验概率，用P(A)表示；

• 其次，事件B发生之后，我们对事件A的发生概率重新评估，称为A的后验概率，用P(A|B)表示；

• 类似的，事件A发生之前，我们对事件B的发生有一个基本的概率判断，称为B的先验概率，用P(B)表示；

• 同样，事件A发生之后，我们对事件B的发生概率重新评估，称为B的后验概率，用P(B|A)表示。

贝叶斯定理便是基于下述贝叶斯公式：

P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)

上述公式的推导其实非常简单，就是从条件概率推出。

 根据条件概率的定义，在事件B发生的条件下事件A发生的概率是

P(A|B)=P(A∩B)/P(B)

同样地，在事件A发生的条件下事件B发生的概率

P(B|A)=P(A∩B)/P(A)

 

整理与合并上述两个方程式，便可以得到：

P(A|B)P(B)=P(A∩B)=P(B|A)P(A)

    接着，上式两边同除以P(B)，若P(B)是非零的，我们便可以得到贝叶斯定理的公式表达式：

P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)

P(A|B) 和 P(B|A) 之类的经常让人混淆，有人给出了理解的一个关键点，区分出规律和现象，就是将A看成“规律”，B看成“现象”，那么贝叶斯公式看成：

《这的理解贝叶斯公式吗》、《又一个生活中的贝叶斯应用》也给出了几个通俗易懂的例子，感兴趣的同学可以去看看。

贝叶斯推断的含义

然后搜下，发现其实还有更好阐释，比如

对条件概率公式进行变形，可以得到形式：后验概率　＝　先验概率 ｘ 调整因子。

我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，我们对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，我们对A事件概率的重新评估。

P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解成下面的式子：

后验概率　＝　先验概率 ｘ 调整因子

这就是贝叶斯推断的含义。我们先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

在这里，如果"可能性函数"P(B|A)/P(B)>1，意味着"先验概率"被增强，事件A的发生的可能性变大；如果"可能性函数"=1，意味着B事件无助于判断事件A的可能性；如果"可能性函数"<1，意味着"先验概率"被削弱，事件A的可能性变小。

最后，我们为什么需要贝叶斯呢？1. 现实世界本身就是不确定的，人类的观察能力是有局限性的。​ 2.​ 我们日常所观察到的只是事物表面上的结果，因此我们需要提供一个猜测。

贝叶斯推导实例

     男生、女生穿长裤

一个学校的男生、女生比例为6：4，男生总是穿长裤，女生则一半穿长裤一半穿裙子。则正向概率问题是：随机选取一个学生，他（她）穿长裤的概率和穿裙子的概率是多大？逆向概率问题是：迎面走来一个穿长裤的学生，你只看得见他（她）穿的是否长裤，而无法确定他（她）的性别，你能够推断出他（她）是女生的概率是多大吗？

     拼写纠错实例